Производная тангенса
| Определение |
|
Производная тангенса равна единице деленной на квадрат косинуса того же самого аргумента: $$ (tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x} $$ |
Данную формулу легко вывести, если знать, что по тригонометрической формуле: $$ tg x = \frac{\sin x}{\cos x} $$
А производные синуса и косинуса:
$$ (\sin x)' = \cos x $$ $$ (\cos x)' = -\sin x $$
Тогда по правилу производной дроби находим:
$$ (tg x)' = \bigg (\frac{\sin x}{\cos x} \bigg )' = \frac{(\sin x)' \cdot \cos x - \sin x \cdot (\cos x)'}{\cos^2 x} = $$
Выполняем упрощение числителя с учетом тождества $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $:
$$ = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} $$
| Пример 1 |
| Найти производную тангенса сложной функции: $ y = tg 2x $ |
| Решение |
|
Производная тангенса равна отношению единицы и квадрата косинуса одно и того же аргумента. Так как функция сложная, то еще нужно домножить на производную аргумента тангенса: $$ y' = (tg 2x)' = \frac{1}{\cos 2x} \cdot (2x)' = \frac{1}{\cos 2x} \cdot 2 = \frac{2}{\cos 2x} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ y' = \frac{2}{\cos 2x} $$ |
| Пример 2 |
| Чему равна производная от тангенса в квадрате? $ y = tg^2 x $ |
| Решение |
|
Тангенс представлен степенной функцией, поэтому берем производную по правилу $ (x^p)' = px^{p-1} $, а затем умножаем на производную тангенса: $$ y' = (tg^2 x)' = 2tg x \cdot (tg x)' = $$ $$ = 2tg x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = 2\frac{tg x}{\cos^2 x} = 2 \frac{\sin x}{\cos^3 x} $$ |
| Ответ |
| $$ y' = 2\frac{\sin x}{\cos^3 x} $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ