Производная корня
| Определение |
| Производная корня из икс равна единице деленной на удвоенный корень из икс: $$ (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ |
Выводится формула из производной степенной функции $ (x^p)' = px^{p-1} $ и свойства записи корней $ \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} $:
$$ (\sqrt{x})' = (x^\frac{1}{2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x^\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$
По такому принципу берется производная кубического корня:
$$ (\sqrt[3]{x})' = (x^\frac{1}{3})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 x^\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} $$
Для удобства выведем формулу производной корня $ n $-ой степени:
$$ (\sqrt[n]{x})' = (x^\frac{1}{n})' = \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1} = \frac{1}{n} x^{\frac{1-n}{n}} = \frac{1}{n}\sqrt[n]{x^{1-n}} $$
| Пример 1 |
| Найти производную корня из косинуса $ y = \sqrt{\cos x} $ |
| Решение |
|
Уравнение представляет собой сложную функцию, поэтому сначала берем производную от внешней функции, а затем от внутренней: $$ y' = (\sqrt{\cos x})' = \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (\cos x)' = $$ $$ = \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ y' = -\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}} $$ |
| Пример 2 |
| Найти производную косинуса корня икс: $ y = \cos \sqrt{x} $ |
| Решение |
|
Сначала находим внешнюю производную по правилу $ (\cos x)' = -\sin x $, затем производную внутренней функции $ (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $ и перемножаем их между собой: $$ y'=(\cos \sqrt{x})' = -\sin \sqrt{x} \cdot (\sqrt{x})' = $$ $$ = -\sin \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = - \frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} $$ |
| Ответ |
| $$ y' = - \frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ