Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Производная корня

Определение
Производная корня из икс равна единице деленной на удвоенный корень из икс: $$ (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

Выводится формула из производной степенной функции $ (x^p)' = px^{p-1} $ и свойства записи корней $ \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} $:

$$ (\sqrt{x})' = (x^\frac{1}{2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x^\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

По такому принципу берется производная кубического корня:

$$ (\sqrt[3]{x})' = (x^\frac{1}{3})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 x^\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} $$

Для удобства выведем формулу производной корня $ n $-ой степени:

$$ (\sqrt[n]{x})' = (x^\frac{1}{n})' = \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1} = \frac{1}{n} x^{\frac{1-n}{n}} = \frac{1}{n}\sqrt[n]{x^{1-n}} $$

Пример 1
Найти производную корня из косинуса $ y = \sqrt{\cos x} $
Решение

Уравнение представляет собой сложную функцию, поэтому сначала берем производную от внешней функции, а затем от внутренней:

$$ y' = (\sqrt{\cos x})' = \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (\cos x)' = $$

$$ = \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ y' = -\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}} $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2
Найти производную косинуса корня икс: $ y = \cos \sqrt{x} $
Решение

Сначала находим внешнюю производную по правилу $ (\cos x)' = -\sin x $, затем производную внутренней функции $ (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $ и перемножаем их между собой:

$$ y'=(\cos \sqrt{x})' = -\sin \sqrt{x} \cdot (\sqrt{x})' = $$

$$ = -\sin \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = - \frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} $$

Ответ
$$ y' = - \frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ