Производная натурального логарифма
| Определение |
| Производная натурального логарифма равна отношению единицы и выражения, стоящего под знаком самого логарифма: $$ (\ln x)' = \frac{1}{x} $$ |
Данная формула выводится из формулы производной логарифма с основанием $ a = e $:
$$ (\ln x)'=(\log_e x)'=\frac{1}{x\ln e}=\frac{1}{x} $$
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти производную натурального логарифма во второй степени: $$ y(x) = \ln^2 x $$ |
| Решение |
|
Чему равна производная натурального логаримфа известно из определения. Но в данном случае есть степень, поэтому функция сложная. Берем производную степенной функции по правилу: $ (x^p)' = px^{p-1} $, а затем умножаем на производную логарифма: $$ y'(x) = (\ln^2 x)' = 2\ln x \cdot (\ln x)' = 2\ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln x}{x} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ y'(x) = \frac{2\ln x}{x} $$ |
| Пример 2 |
|
Найти производную натурального логарифма сложной функции: $$ y(x) = \ln \cos x $$ |
| Решение |
|
Логарифм косинуса представляет собой сложную функцию. Поэтому сначала берем производную от натурального логарифма, а затем производную от косинуса по правилу: $ (\cos x)' = -\sin x $ $$ y'(x) = (\ln \cos x)' = \frac{1}{\cos x} \cdot (\cos x)' = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tg x $$ |
| Ответ |
| $$ y'(x) = -\tg x $$ |