Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Производная натурального логарифма

Определение
Производная натурального логарифма равна отношению единицы и выражения, стоящего под знаком самого логарифма: $$ (\ln x)' = \frac{1}{x} $$

Данная формула выводится из формулы производной логарифма с основанием $ a = e $:

$$ (\ln x)'=(\log_e x)'=\frac{1}{x\ln e}=\frac{1}{x} $$

Примеры решений

Пример 1
Найти производную натурального логарифма во второй степени: $$ y(x) = \ln^2 x $$
Решение

Чему равна производная натурального логаримфа известно из определения. Но в данном случае есть степень, поэтому функция сложная. Берем производную степенной функции по правилу: $ (x^p)' = px^{p-1} $, а затем умножаем на производную логарифма:

$$ y'(x) = (\ln^2 x)' = 2\ln x \cdot (\ln x)' = 2\ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln x}{x} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ y'(x) = \frac{2\ln x}{x} $$
Пример 2

Найти производную натурального логарифма сложной функции:

$$ y(x) = \ln \cos x $$

Решение

Логарифм косинуса представляет собой сложную функцию. Поэтому сначала берем производную от натурального логарифма, а затем производную от косинуса по правилу: $ (\cos x)' = -\sin x $

$$ y'(x) = (\ln \cos x)' = \frac{1}{\cos x} \cdot (\cos x)' = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tg x $$
Ответ
$$ y'(x) = -\tg x $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ