Производная синуса
| Определение |
| Производная синуса равна положительному косинусу одно и того же аргумента: $$ (\sin x)' = \cos x $$ |
Если же аргумент синуса представляе собой функцию $ f(x) $, то производная синуса сложной функции находится по формуле: $$ (\sin f(x))' = \cos f(x) \cdot ( f(x) )' = f'(x) \cos f(x) $$
| Пример 1 |
| Найти производную синуса двойного угла: $ y = \sin 2x $ |
| Решение |
|
Так как аргумент синуса представляет собой сложную функцию $ f(x)=2x $, то используем вторую формулу. Находим производную $ f(x) $: $$ f'(x) = (2x)' = 2 $$ Теперь подставляем всё в формулу и записываем: $$ y' = (\sin 2x)' = \cos 2x \cdot (2x)' = 2\cos 2x $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ y' = 2\cos 2x $$ |
| Пример 2 |
| Чему равна производная синуса в квадрате? $ y = \sin^2 x $ |
| Решение |
|
В этом примере синус представляет собой степенную функцию. Поэтому сначала берем производную по правилу: $ (x^p)'=px^{p-1} $, а затем производную от $ \sin x $. Записываем: $$ y'=(\sin^2 x)' = 2\sin^2 x \cdot (\sin x)' = 2\sin^2 x \cdot \cos x $$ |
| Ответ |
| $$ y' = 2\sin^2 x \cos x $$ |
| Пример 3 |
| Найти производную синуса в кубе: $ y = \sin^3 x $ |
| Решение |
|
Это задание полностью аналогичное предыдущему, только вместо квадрата стоит куб: $$ y' = (\sin^3 x)' = 3\sin^2 x \cdot (\sin x)' = 3\sin^2 x \cdot \cos x $$ |
| Ответ |
| $$ y' = 3\sin^2 x \cos x $$ |
| Пример 4 |
| Чему равна производная сложной функции синус корень икс? $ y = \sin \sqrt{x} $ |
| Решение |
|
Формула производной квадратного корня: $$ (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ Возвращаемся к заданию и находим производную: $$ y' = (\sin \sqrt{x})' = \cos \sqrt{x} \cdot (\sqrt{x})' = \cos \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} $$ |
| Ответ |
| $$ y' = \frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ