Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Производная синуса

Определение
Производная синуса равна положительному косинусу одно и того же аргумента: $$ (\sin x)' = \cos x $$

Если же аргумент синуса представляе собой функцию $ f(x) $, то производная синуса сложной функции находится по формуле: $$ (\sin f(x))' = \cos f(x) \cdot ( f(x) )' = f'(x) \cos f(x) $$

Пример 1
Найти производную синуса двойного угла: $ y = \sin 2x $
Решение

Так как аргумент синуса представляет собой сложную функцию $ f(x)=2x $, то используем вторую формулу.

Находим производную $ f(x) $:

$$ f'(x) = (2x)' = 2 $$

Теперь подставляем всё в формулу и записываем:

$$ y' = (\sin 2x)' = \sin 2x \cdot (2x)' = 2\sin 2x $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ y' = 2\sin 2x $$
Пример 2
Чему равна производная синуса в квадрате? $ y = \sin^2 x $
Решение

В этом примере синус представляет собой степенную функцию. Поэтому сначала берем производную по правилу: $ (x^p)'=px^{p-1} $, а затем производную от $ \sin x $.

Записываем:

$$ y'=(\sin^2 x)' = 2\sin^2 x \cdot (\sin x)' = 2\sin^2 x \cdot \cos x $$

Ответ
$$ y' = 2\sin^2 x \cos x $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 3
Найти производную синуса в кубе: $ y = \sin^3 x $
Решение

Это задание полностью аналогичное предыдущему, только вместо квадрата стоит куб:

$$ y' = (\sin^3 x)' = 3\sin^2 x \cdot (\sin x)' = 3\sin^2 x \cdot \cos x $$

Ответ
$$ y' = 3\sin^2 x \cos x $$
Пример 4
Чему равна производная сложной функции синус корень икс? $ y = \sin \sqrt{x} $
Решение

Формула производной квадратного корня: $$ (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

Возвращаемся к заданию и находим производную:

$$ y' = (\sin \sqrt{x})' = \cos \sqrt{x} \cdot (\sqrt{x})' = \cos \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} $$

Ответ
$$ y' = \frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ