Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Производная косинуса

Определение
По формуле производная косинуса равна отрицательному синусу: $$ (\cos x)' = -\sin x $$

Если аргумент синуса является сложной функцией, тогда производная находится по формуле:

$$ (\cos u(x))' = -\sin u(x) \cdot ( u(x) )' = -u'(x)\sin u(x) $$

Пример 1
Найти производную косинуса двойного угла: $ y = \cos 2x $
Решение

Аргумент косинуса представлен сложной функцией $ u(x) = 2x $. Поэтому применяем вторую формулу, в которой производная $ u'(x) = 2 $. Подставляем:

$$ y' = (\cos 2x)' = -\sin x \cdot (2x)' = -2\sin x $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ y' = -2\sin x $$
Пример 2
Чему равна производная косинуса в квадрате? $ y = \cos^2 x $
Решение

В этом случае косинус представлен в виде степенной функции, производную которой можно найти по формуле: $ (x^p)' = px^{p-1} $. Затем нужно выполнить домножение на производную самого косинуса. Выполняем:

$$ y'=(\cos^2 x)' = 2\cos x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2 \cos x \sin x $$

По тригонометрической формуле синуса двойного угла: $ -2 \cos x \sin x = -\sin 2x $

Записываем окончательный ответ:

$$ y'(x) = -2 \cos x \sin x = -\sin 2x $$

Ответ
$$ y'(x) = -\sin 2x $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 3
Найти производную косинуса в кубе функции $ y = \cos^3 x $
Решение

Данный пример аналогичен предыдущему и решается по тем же формулам:

$$ y' = (\cos^3 x)' = 3\cos^2 x \cdot (\cos x)' = $$

Так как $ (\cos x)' = -\sin x $, то получаем:

$$ = 3\cos^2 x \cdot (-\sin x) = -3\cos^2 x \sin x $$

Ответ
$$ y'(x) = -3\cos^2 x \sin x $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ