Производная косинуса
| Определение |
| По формуле производная косинуса равна отрицательному синусу: $$ (\cos x)' = -\sin x $$ |
Если аргумент синуса является сложной функцией, тогда производная находится по формуле:
$$ (\cos u(x))' = -\sin u(x) \cdot ( u(x) )' = -u'(x)\sin u(x) $$
| Пример 1 |
| Найти производную косинуса двойного угла: $ y = \cos 2x $ |
| Решение |
|
Аргумент косинуса представлен сложной функцией $ u(x) = 2x $. Поэтому применяем вторую формулу, в которой производная $ u'(x) = 2 $. Подставляем: $$ y' = (\cos 2x)' = -\sin x \cdot (2x)' = -2\sin x $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ y' = -2\sin x $$ |
| Пример 2 |
| Чему равна производная косинуса в квадрате? $ y = \cos^2 x $ |
| Решение |
|
В этом случае косинус представлен в виде степенной функции, производную которой можно найти по формуле: $ (x^p)' = px^{p-1} $. Затем нужно выполнить домножение на производную самого косинуса. Выполняем: $$ y'=(\cos^2 x)' = 2\cos x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2 \cos x \sin x $$ По тригонометрической формуле синуса двойного угла: $ -2 \cos x \sin x = -\sin 2x $ Записываем окончательный ответ: $$ y'(x) = -2 \cos x \sin x = -\sin 2x $$ |
| Ответ |
| $$ y'(x) = -\sin 2x $$ |
| Пример 3 |
| Найти производную косинуса в кубе функции $ y = \cos^3 x $ |
| Решение |
|
Данный пример аналогичен предыдущему и решается по тем же формулам: $$ y' = (\cos^3 x)' = 3\cos^2 x \cdot (\cos x)' = $$ Так как $ (\cos x)' = -\sin x $, то получаем: $$ = 3\cos^2 x \cdot (-\sin x) = -3\cos^2 x \sin x $$ |
| Ответ |
| $$ y'(x) = -3\cos^2 x \sin x $$ |