Производная показательной функции
| Определение |
| Производная показательной функции равна этой же показательной функции, умноженной на натуральный логарифм основания степени функции: $$ (a^x)' = a^x \ln a $$ |
Примеры решения
| Пример 1 |
| Найти производную показательной функции: $ y = 3^x $ |
| Решение |
|
Итак, производная показательной функции равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм основания степени. В нашем случае основание $ a = 3 $: $$ y' = (3^x)' = 3^x \ln 3 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ y' = 3^x \ln 3 $$ |
| Пример 2 |
| Найти производную сложной показательной функции: $ y = 2^{\sin x} $ |
| Решение |
|
Основание степени равно $ a = 2 $. Но в показателе степени стоит функция, отличная от $ x $. Поэтому функция является сложной. Кроме взятия производной показательной функции нужно еще умножить полученный результат на производную показателя степени: $$ y' = (2^{\sin x})' = 2^{\sin x} \ln 2 \cdot (\sin x)' = 2^{\sin x} \ln 2 \cdot \cos x $$ |
| Ответ |
| $$ y' = 2^{\sin x} \cos x \ln 2 $$ |
| Пример 3 |
| Найти производную сложной показательной функции: $ y = \sin 3^x $ |
| Решение |
|
Функция является сложной: синус от показательной функции. Сначала находим производную внешней, а затем внутренней части: $$ y' = (\sin 3^x)' = \cos 3^x \cdot (3^x)' = \cos 3^x \cdot 3^x \ln 3 $$ |
| Ответ |
| $$ y' = 3^x \ln 3 \cos 3^x $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ