Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Производная показательной функции

Определение
Производная показательной функции равна этой же показательной функции, умноженной на натуральный логарифм основания степени функции: $$ (a^x)' = a^x \ln a $$

Примеры решения

Пример 1
Найти производную показательной функции: $ y = 3^x $
Решение

Итак, производная показательной функции равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм основания степени. В нашем случае основание $ a = 3 $:

$$ y' = (3^x)' = 3^x \ln 3 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ y' = 3^x \ln 3 $$

Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
 

Пример 2
Найти производную сложной показательной функции: $ y = 2^{\sin x} $
Решение

Основание степени равно $ a = 2 $. Но в показателе степени стоит функция, отличная от $ x $. Поэтому функция является сложной. Кроме взятия производной показательной функции нужно еще умножить полученный результат на производную показателя степени:

$$ y' = (2^{\sin x})' = 2^{\sin x} \ln 2 \cdot (\sin x)' = 2^{\sin x} \ln 2 \cdot \cos x $$

Ответ
$$ y' = 2^{\sin x} \cos x \ln 2 $$
Пример 3
Найти производную сложной показательной функции: $ y = \sin 3^x $
Решение

Функция является сложной: синус от показательной функции. Сначала находим производную внешней, а затем внутренней части:

$$ y' = (\sin 3^x)' = \cos 3^x \cdot (3^x)' = \cos 3^x \cdot 3^x \ln 3 $$

Ответ
$$ y' = 3^x \ln 3 \cos 3^x $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ