Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Производная экспоненты

Определение
Производная экспоненты равна самой же себе: $$ (e^x)' = e^x $$

Если вместо $ x $ в экспоненте стоит сложная функция, то тогда производная экспоненты сложной функции находится по формуле: $$ (e^{f(x)})' = e^{f(x)} \cdot (f(x))' = e^{f(x)} \cdot f'(x) $$

То есть оставляем изначальную функцию неизменной и умножаем на производную степени, стоящей в экспоненте.

Примеры решения

Пример 1
Найти производную экпоненты в степени $ 2x $: $$ y = e^{2x} $$
Решение

Так как дана сложная функция, то находим производную по правилу:

$$ (e^{f(x)})' = e^{f(x)} \cdot $$(x))' = e^{f(x)} \cdot f'(x) $$

Для этого считаем $ f(x) = 2x $ и $ f'(x) = (2x)' = 2 $.

Подставляем всё в формулу:

$$ y'=(e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ y' = 2e^{2x} $$
Пример 2
Найти производную экспоненты сложной функции: $$ y = \cos e^x $$
Решение

Такая функция является сложной и взять от неё производную нужно по соответствующему правилу: $$ y' = ( f(g(x)) )' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$

Записываем: $$ y' = (\cos e^x)' = -\sin e^x \cdot (e^x)' = -\sin e^x \cdot e^x = -e^x \sin e^x $$

Ответ
$$ y' = -e^x \sin e^x $$

Обратите внимание на то, что экспонента является единственной функцией на которую не оказывает влияния производная!

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ