Производная экспоненты
| Определение |
| Производная экспоненты равна самой же себе: $$ (e^x)' = e^x $$ |
Если вместо $ x $ в экспоненте стоит сложная функция, то тогда производная экспоненты сложной функции находится по формуле: $$ (e^{f(x)})' = e^{f(x)} \cdot (f(x))' = e^{f(x)} \cdot f'(x) $$
То есть оставляем изначальную функцию неизменной и умножаем на производную степени, стоящей в экспоненте.
Примеры решения
| Пример 1 |
| Найти производную экпоненты в степени $ 2x $: $$ y = e^{2x} $$ |
| Решение |
|
Так как дана сложная функция, то находим производную по правилу: $$ (e^{f(x)})' = e^{f(x)} \cdot $$(x))' = e^{f(x)} \cdot f'(x) $$ Для этого считаем $ f(x) = 2x $ и $ f'(x) = (2x)' = 2 $. Подставляем всё в формулу: $$ y'=(e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ y' = 2e^{2x} $$ |
| Пример 2 |
| Найти производную экспоненты сложной функции: $$ y = \cos e^x $$ |
| Решение |
|
Такая функция является сложной и взять от неё производную нужно по соответствующему правилу: $$ y' = ( f(g(x)) )' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$ Записываем: $$ y' = (\cos e^x)' = -\sin e^x \cdot (e^x)' = -\sin e^x \cdot e^x = -e^x \sin e^x $$ |
| Ответ |
| $$ y' = -e^x \sin e^x $$ |
Обратите внимание на то, что экспонента является единственной функцией на которую не оказывает влияния производная!
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ