Производная котангенса
| Определение |
|
Производная котангенса равна отрицательной единице деленной на квадрат синуса: $$ (ctg x)' = - \frac{1}{\sin^2 x} $$ |
Вывести данную формулу нужно из тригонометрического тождества: $$ ctg x = \frac{\cos x}{\sin x} $$
Так же понадобится знать производные $$ (\sin x)' = \cos x $$ $$ (\cos x)' = -\sin x $$
По правилу производной дроби имеем:
$$ (ctg x)' = \bigg (\frac{\cos x}{\sin x} \bigg )' = \frac{(\cos x)' \cdot \sin x - \cos x \cdot (\sin x)'}{\sin^2 x} = $$
Подставляем производные синуса и косинуса, а также упрощаем выражение с помощью тождества $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $:
$$ = \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = $$
$$ = - \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x} $$
| Пример 1 |
| Найти производную котангенса двойного угла $ y = ctg 2x $ |
| Решение |
|
Производная котангенса равна отрицательной единице деленной на квадрат косинуса одно и того же аргумента. Но так как аргумент отличен от $ x $, то необходимо еще потом домножить на производную аргумента: $$ y' = (ctg 2x)' = -\frac{1}{\sin^2 2x} \cdot (2x)' = -\frac{1}{\sin^2 2x} \cdot 2 = -\frac{2}{\sin^2 2x} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ y' = -\frac{2}{\sin^2 2x} $$ |
| Пример 2 |
| Найти производную котангенса в квадрате $ y = ctg^2 x $ |
| Решение |
|
Котангенс представляет в данном случае степенную функцию, производная которой находится по правилу $ (x^p)' = px^{p-1} $, а затем домножить на производную самого котангенса: $$ y' = (ctg^2 x)' = 2ctg x \cdot (ctg x)' = $$ $$ = 2ctg x \cdot \frac{-1}{\sin^2 x} = -\frac{2ctg x}{\sin^2 x} = - \frac{2\cos x}{\sin^3 x} $$ |
| Ответ |
| $$ y' = - \frac{2\cos x}{\sin^3 x} $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ