Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Производная котангенса

Определение

Производная котангенса равна отрицательной единице деленной на квадрат синуса:

$$ (ctg x)' = - \frac{1}{\sin^2 x} $$

Вывести данную формулу нужно из тригонометрического тождества: $$ ctg x = \frac{\cos x}{\sin x} $$

Так же понадобится знать производные $$ (\sin x)' = \cos x $$ $$ (\cos x)' = -\sin x $$

По правилу производной дроби имеем:

$$ (ctg x)' = \bigg (\frac{\cos x}{\sin x} \bigg )' = \frac{(\cos x)' \cdot \sin x - \cos x \cdot (\sin x)'}{\sin^2 x} = $$

Подставляем производные синуса и косинуса, а также упрощаем выражение с помощью тождества $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $:

$$ = \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = $$

$$ = - \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x} $$

Пример 1
Найти производную котангенса двойного угла $ y = ctg 2x $
Решение

Производная котангенса равна отрицательной единице деленной на квадрат косинуса одно и того же аргумента. Но так как аргумент отличен от $ x $, то необходимо еще потом домножить на производную аргумента:

$$ y' = (ctg 2x)' = -\frac{1}{\sin^2 2x} \cdot (2x)' = -\frac{1}{\sin^2 2x} \cdot 2 = -\frac{2}{\sin^2 2x} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ y' = -\frac{2}{\sin^2 2x} $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2
Найти производную котангенса в квадрате $ y = ctg^2 x $
Решение

Котангенс представляет в данном случае степенную функцию, производная которой находится по правилу $ (x^p)' = px^{p-1} $, а затем домножить на производную самого котангенса:

$$ y' = (ctg^2 x)' = 2ctg x \cdot (ctg x)' = $$

$$ = 2ctg x \cdot \frac{-1}{\sin^2 x} = -\frac{2ctg x}{\sin^2 x} = - \frac{2\cos x}{\sin^3 x} $$

Ответ
$$ y' = - \frac{2\cos x}{\sin^3 x} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ