Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Производная разности

Определение

Производная разности двух функций равна разности производных каждой из функций: $$ (u-v)' = (u)' - (v)' $$

Эта формула также распространяется на количество функций более двух, например:

$$ (u+v+g)' = (u)' + (v)' + (g)' $$

Пример 1
Найти производную разности функций $ y = x^4 - 2x^3 - 6 $
Решение

Производная разности равна разности производных:

$$ y' = (x^4 - 2x^3 - 6)' = (x^4)' - (2x^3)' - (6)' $$

Производные первого и второго слагаемых следует найти по правилу $ (x^p)' = px^{p-1} $:

$$ (x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3 $$

$$ (2x^3)' = 2 \cdot 3 x^{3-1} = 6x^2 $$

Производная константы равна нулю:

$$ (6)' = 0 $$

Тогда продолжая решение примера:

$$ y' = (x^4 - 2x^3 - 6)' = (x^4)' - (2x^3)' - (6)' = $$

$$ = 4x^3 - 6x^2 - 0 = 4x^3 - 6x^2 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ y' = 4x^3 - 6x^2 $$
Пример 2
Найти производную разности двух функций: $ y = \sin x - \ln 3x - \sqrt{2x} $
Решение

Производная от $ \sin x $ присутствует в таблице производных:

$$ (\sin x)' = \cos x $$

Для натурального логарифма есть правило $ (\ln x)' = \frac{1}{x} $. Но так как выражение, стоящее под знаком логарифма отличается от $ x $, поэтому нужно ещё дробь домножить на производную от внутренней функции $ 3x $:

$$ (\ln 3x)' = \frac{1}{3x} \cdot (3x)' = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x} $$

Третья функция является сложной, поэтому сначала находим производную от внешней части, затем от внутренней и перемножаем их:

$$ (\sqrt{2x})' = \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot (2x)' = \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x}} $$

Подставляем все производные в исходную задачу:

$$ y' = (\sin x - \ln 3x - \sqrt{2x})' = (\sin x)' - (\ln 3x)' - (\sqrt{2x})' = $$

$$ = \cos x - \frac{1}{x} - \frac{1}{\sqrt{2x}} $$

Ответ
$$ y' = \cos x - \frac{1}{x} - \frac{1}{\sqrt{2x}} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ