Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Производная неявной функции

Формула

Рассмотрим функцию y(x), которая записывается неявным способом в общем виде $ F(x,y(x)) = 0 $. Производная неявной функции находится двумя способами:

  1. Дифференцированием обеих частей уравнения
  2. С помощью использования готовой формулы $ y' = - \frac{F'_x}{F'_y} $

Как найти?

Способ 1

Не требуется приводить функцию к явному виду. Нужно сразу приступать к дифференцированию левой и правой части уравнения по $ x $. Стоит обратить внимание, что производная $ y' $ вычисляется по правилу дифференцирования сложной функции. Например, $ (y^2)'_x = 2yy' $. После нахождения производной необходимо выразить $ y' $ из полученного уравнения и разместить $ y' $ в левой части.

Способ 2

Можно воспользоваться формулой, в которой используются в числителе и знаменателе частные производные неявной функции $ F(x,y(x)) = 0 $. Для нахождения числителя берем производную по $ x $, а для знаменателя производную по $ y $. 

Вторую производную неявной функции можно найти с помощью повторного дифференцирования первой производной неявной функции.

Примеры решений

Рассмотрим практические примеры решений на вычисление производной неявно заданной функции.

Пример 1

Найти производную неявной функции $ 3x^2y^2 -5x = 3y - 1 $

Решение

Воспользуемся способом №1. А именно продифференцируем левую и правую часть уравнения:

$$ (3x^2y^2 -5x)'_x = (3y - 1)'_x $$

Не забываем при дифференцировании использовать формулу производной произведения функций:

$$ (3x^2)'_x y^2 + 3x^2 (y^2)'_x - (5x)'_x = (3y)'_x - (1)'_x $$

$$ 6x y^2 + 3x^2 2yy' - 5 = 3y' $$

Далее выражаем y' из уравнения:

$$ 6x y^2 - 5 = 3y' - 6x^2 yy' $$

$$ 6x y^2 - 5 = y'(3-6x^2 y) $$

$$ y' = \frac{6x y^2 - 5}{3 - 6x^2y } $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ y' = \frac{6x y^2 - 5}{3 - 6x^2y } $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2

Функция задана неявно, найти производную $ 3x^4 y^5 + e^{7x-4y} -4x^5 -2y^4 = 0 $

Решение

Воспользуемся способом №2. Находим частные производные функции $ F(x,y) = 0 $

Положим $ y $ постоянной и продифференцируем по $ x $:

$$ F'_x = 12x^3 y^5 + e^{7x-4y} \cdot 7 - 20x^4 $$

$$ F'_x = 12x^3 y^5 + 7e^{7x-4y} - 20x^4 $$

Считаем теперь $ x $ константой и дифференцируем по $ y $:

$$ F'_y = 15x^4 y^4 + e^{7x-4y} \cdot (-4) - 8y^3 $$

$$ F'_y = 15x^4 y^4 - 4e^{7x-4y} - 8y^3 $$

Подставляем теперь в формулу $ y' = -\frac{F'_y}{F'_x} $ и получаем:

$$ y' = -\frac{12x^3 y^5 + 7e^{7x-4y} - 20x^4}{15x^4 y^4 - 4e^{7x-4y} - 8y^3} $$

Ответ
$$ y' = -\frac{12x^3 y^5 + 7e^{7x-4y} - 20x^4}{15x^4 y^4 - 4e^{7x-4y} - 8y^3} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ