Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов

Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам. Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Производная неявной функции

Формула

Рассмотрим функцию y(x), которая записывается неявным способом в общем виде . Производная неявной функции находится двумя способами:

  1. Дифференцированием обеих частей уравнения
  2. С помощью использования готовой формулы

Как найти?

Способ 1

Не требуется приводить функцию к явному виду. Нужно сразу приступать к дифференцированию левой и правой части уравнения по . Стоит обратить внимание, что производная вычисляется по правилу дифференцирования сложной функции. Например, . После нахождения производной необходимо выразить из полученного уравнения и разместить  в левой части.

Способ 2

Можно воспользоваться формулой, в которой используются в числителе и знаменателе частные производные неявной функции . Для нахождения числителя берем производную по , а для знаменателя производную по

Вторую производную неявной функции можно найти с помощью повторного дифференцирования первой производной неявной функции.

Примеры решений

Рассмотрим практические примеры решений на вычисление производной неявно заданной функции.

Пример 1

Найти производную неявной функции

Решение

Воспользуемся способом №1. А именно продифференцируем левую и правую часть уравнения:

Не забываем при дифференцировании использовать формулу производной произведения функций:

Далее выражаем y' из уравнения:

Ответ
Решение задач от 20 руб/шт, от 2 часов
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб, от 4 часов
подробное написание
Пример 2

Функция задана неявно, найти производную

Решение

Воспользуемся способом №2. Находим частные производные функции

Положим постоянной и продифференцируем по :

Считаем теперь константой и дифференцируем по :

Подставляем теперь в формулу и получаем:

Ответ

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ