Производная неявной функции

Рассмотрим функцию y(x), которая записывается неявным способом в общем виде . Производная неявной функции находится двумя способами:

  1. Дифференцированием обеих частей уравнения
  2. С помощью использования готовой формулы

Способ 1

Не требуется приводить функцию к явному виду. Нужно сразу приступать к дифференцированию левой и правой части уравнения по . Стоит обратить внимание, что производная вычисляется по правилу дифференцирования сложной функции. Например, . После нахождения производной необходимо выразить из полученного уравнения и разместить  в левой части.

Способ 2

Можно воспользоваться формулой, в которой используются в числителе и знаменателе частные производные неявной функции . Для нахождения числителя берем производную по , а для знаменателя производную по

Самый легкий способ №2

Вторая производная неявно заданной функции

Вторую производную неявной функции можно найти с помощью повторного дифференцирования первой производной неявной функции.

Примеры решений производной неявной функции

Рассмотрим практические примеры решений на вычисление производной неявно заданной функции.

Пример 1

Найти производную неявной функции

Решение

Воспользуемся способом №1. А именно продифференцируем левую и правую часть уравнения:

Не забываем при дифференцировании использовать формулу производной произведения функций:

Далее выражаем y' из уравнения:

Ответ
Пример 2

Функция задана неявно, найти производную

Решение

Воспользуемся способом №2. Находим частные производные функции

Положим постоянной и продифференцируем по :

Считаем теперь константой и дифференцируем по :

Подставляем теперь в формулу и получаем:

Ответ

 

Не получается решить свою задачу?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ