Производная неявной функции
Рассмотрим функцию y(x), которая записывается неявным способом в общем виде $ F(x,y(x)) = 0 $. Производная неявной функции находится двумя способами:
- Дифференцированием обеих частей уравнения
- С помощью использования готовой формулы $ y' = - \frac{F'_x}{F'_y} $
Рассмотрим способы нахождения производной неявно-заданной функции:
Способ 1
Не требуется приводить функцию к явному виду. Нужно сразу приступать к дифференцированию левой и правой части уравнения по $ x $. Стоит обратить внимание, что производная $ y' $ вычисляется по правилу дифференцирования сложной функции. Например, $ (y^2)'_x = 2yy' $. После нахождения производной необходимо выразить $ y' $ из полученного уравнения и разместить $ y' $ в левой части.
Способ 2
Можно воспользоваться формулой, в которой используются в числителе и знаменателе частные производные неявной функции $ F(x,y(x)) = 0 $. Для нахождения числителя берем производную по $ x $, а для знаменателя производную по $ y $.
Вторую производную неявно-заданной функции можно найти с помощью повторного дифференцирования первой производной неявной функции.
| Пример 1 |
|
Найти производную неявной функции $ 3x^2y^2 -5x = 3y - 1 $ |
| Решение |
|
Воспользуемся способом №1. А именно продифференцируем левую и правую часть уравнения: $$ (3x^2y^2 -5x)'_x = (3y - 1)'_x $$ Не забываем при дифференцировании использовать формулу производной произведения функций: $$ (3x^2)'_x y^2 + 3x^2 (y^2)'_x - (5x)'_x = (3y)'_x - (1)'_x $$ $$ 6x y^2 + 3x^2 2yy' - 5 = 3y' $$ Далее выражаем y' из уравнения: $$ 6x y^2 - 5 = 3y' - 6x^2 yy' $$ $$ 6x y^2 - 5 = y'(3-6x^2 y) $$ $$ y' = \frac{6x y^2 - 5}{3 - 6x^2y } $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ y' = \frac{6x y^2 - 5}{3 - 6x^2y } $$ |
| Пример 2 |
|
Функция задана неявно, найти производную $ 3x^4 y^5 + e^{7x-4y} -4x^5 -2y^4 = 0 $ |
| Решение |
|
Воспользуемся способом №2. Находим частные производные функции $ F(x,y) = 0 $ Положим $ y $ постоянной и продифференцируем по $ x $: $$ F'_x = 12x^3 y^5 + e^{7x-4y} \cdot 7 - 20x^4 $$ $$ F'_x = 12x^3 y^5 + 7e^{7x-4y} - 20x^4 $$ Считаем теперь $ x $ константой и дифференцируем по $ y $: $$ F'_y = 15x^4 y^4 + e^{7x-4y} \cdot (-4) - 8y^3 $$ $$ F'_y = 15x^4 y^4 - 4e^{7x-4y} - 8y^3 $$ Подставляем теперь в формулу $ y' = -\frac{F'_x}{F'_y} $ и получаем: $$ y' = -\frac{12x^3 y^5 + 7e^{7x-4y} - 20x^4}{15x^4 y^4 - 4e^{7x-4y} - 8y^3} $$ |
| Ответ |
| $$ y' = -\frac{12x^3 y^5 + 7e^{7x-4y} - 20x^4}{15x^4 y^4 - 4e^{7x-4y} - 8y^3} $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ