Производная логарифмической функции
Пусть дана функция $ y = \ln x $, тогда производная логарифмической функции равна: $$ y' = (\ln x)' = \frac{1}{x} $$
Пусть дана сложная функция $ y = \ln z $, где $ z = \phi (x) $, в которой выражение стоящее под знаком логарифма, представляет собой функцию от $ x $, то формула приобретает другой вид: $$ y' = (\ln z)' = \frac{1}{z} \cdot z' = \frac{z'}{z} $$
| Пример 1 |
| Найти производную логарифмической функции: $$ y = \ln x^2 $$ |
| Решение |
|
Выражение под знаком логарифма представляет собой функцию. Таким образом в целом логарифм является сложной функцией. По второй формуле $ z = x^2 $ и производная равна $ z' = 2x $. Подставляя в формулу получаем: $$ y' = (\ln x^2)' = \frac{1}{x^2} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ y' = \frac{2x}{x^2} $$ |
| Пример 2 |
| Найти производную функции: $$ y = \ln \ln x $$ |
| Решение |
|
Функция, стоящая под знаком первого логарифма является сама натуральным логарифмом: $$ z = \ln x $$ $$ z' = (\ln x)' = \frac{1}{x} $$ Зная, что $ z' = \frac{1}{x} $, пользуемся второй формулой: $$ y' = (\ln \ln x)' = \frac{1}{\ln x} \cdot (\ln x)' = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln x} $$ |
| Ответ |
| $$ y' = \frac{1}{x\ln x} $$ |
| Пример 3 |
| Найти логарифмическую производную функции: $$ y = \ln tg \frac{x}{2} $$ |
| Решение |
|
В данном примере под натуральным логарифмом стоит сложная функция тангенса: $$ z = tg \frac{x}{2} $$ $$ z' = (tg \frac{x}{2})' = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \cdot (\frac{x}{2})' = \frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}} $$ В итоге подставляя во вторую формулу имеем: $$ y' = (\ln tg \frac{x}{2})' = \frac{1}{tg \frac{x}{2}} \cdot (tg \frac{x}{2})' = $$ $$ = \frac{1}{tg \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2} tg \frac{x}{2}} $$ |
| Ответ |
| $$ y'=\frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2} tg \frac{x}{2}} $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ