Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Производная логарифмической функции

Формула

Пусть дана функция $ y = \ln x $, тогда производная логарифмической функции равна: $$ y' = (\ln x)' = \frac{1}{x} $$

Пусть дана сложная функция $ y = \ln z $, где $ z = \phi (x) $, в которой выражение стоящее под знаком логарифма, представляет собой функцию от $ x $, то формула приобретает другой вид: $$ y' = (\ln z)' = \frac{1}{z} \cdot z' = \frac{z'}{z} $$

Примеры решений

Пример 1
Найти производную логарифмической функции: $$ y = \ln x^2 $$
Решение

Выражение под знаком логарифма представляет собой функцию. Таким образом в целом логарифм является сложной функцией. По второй формуле $ z = x^2 $ и производная равна $ z' = 2x $. Подставляя в формулу получаем:

$$ y' = (\ln x^2)' = \frac{1}{x^2} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ y' = \frac{2x}{x^2} $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2
Найти производную функции: $$ y = \ln \ln x $$
Решение

Функция, стоящая под знаком первого логарифма является сама натуральным логарифмом:

$$ z = \ln x $$ $$ z' = (\ln x)' = \frac{1}{x} $$

Зная, что $ z' = \frac{1}{x} $, пользуемся второй формулой:

$$ y' = (\ln \ln x)' = \frac{1}{\ln x} \cdot (\ln x)' = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln x} $$

Ответ
$$ y' = \frac{1}{x\ln x} $$
Пример 3
Найти логарифмическую производную функции: $$ y = \ln tg \frac{x}{2} $$
Решение

В данном примере под натуральным логарифмом стоит сложная функция тангенса:

$$ z = tg \frac{x}{2} $$ $$ z' = (tg \frac{x}{2})' = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \cdot (\frac{x}{2})' = \frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}} $$

В итоге подставляя во вторую формулу имеем:

$$ y' = (\ln tg \frac{x}{2})' = \frac{1}{tg \frac{x}{2}} \cdot (tg \frac{x}{2})' = $$

$$ = \frac{1}{tg \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2} tg \frac{x}{2}} $$

Ответ
$$ y'=\frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2} tg \frac{x}{2}} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ