Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Производная параметрически заданной функции

Производная параметрически заданной функции находится по обычным правилам дифференцирования, но с использованием дополнительных формул, которые будут рассмотрены далее, а пока напомним как выглядит параметрическая функция.

Параметрическая функция задаётся в виде:

$$ \begin{cases} y = \phi(t) \\ x = \psi(t) \end{cases}, t \in [a;b] $$

Здесь $ t $ это параметр функции. Для нахождения производной такой функции нужно знать таблицу производных элементарных функций.

Формула первой производной

$$ y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} $$

Пример 1
Найти производную функции, заданной параметрически $$ \begin{cases} y = t^2 - 16 \\ x = t - 4 \end{cases} $$
Решение

Рассмотрев формулу понимаем, что для решения примера нужно найти неизвестные $ y'_t $ и $ x'_t $. Займемся этим:

$$ y'_t = (t^2 - 16)'_t = 2t $$

$$ x'_t = (t-4)'_t = 1 $$

Обратите внимание! При записи производной нужно обязательно внизу писать $ t $. Теперь подставляем найденное в формулу:

$$ y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{2t}{1} = 2t $$

Ответ необходимо записывать в следующем виде:

$$ \begin{cases} y'_x = 2t \\ x = t - 4 \end{cases} $$

Обратите внимание, что обязательно составляется система, в которой кроме $ y'_x $ пишем ещё $ x = t - 4 $

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \begin{cases} y'_x = 2t \\ x = t - 4 \end{cases} $$
Пример 2
Вычислить первую производную функции заданной параметрически: $$ \begin{cases} y = e^t \cos t \\ x = e^t \sin t \end{cases} $$
Решение

Начинаем с нахождения производных функций $ y(t) $ и $ x(t) $.

Не забываем правило дифференцирования сложной функции:

$$ y'_t = (e^t \cos t)'_t = (e^t)'_t \cos t + e^t (\cos t)'_t = $$ 

$$ = e^t \cos t - e^t \sin t = e^t (\cos t - \sin t) $$

Аналогично находим производную $ x'_t $:

$$ x'_t = (e^t \sin t)'_t = (e^t)'_t \sin t + e^t (\sin t)'_t = $$ $$ = e^t \sin t + e^t \cos t = e^t (\sin t + \cos t) $$

Подставляем в формулу найденные $ y'_t $ и $ x'_t $. Получаем:

$$ y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{e^t (\cos t - \sin t)}{e^t (\sin t + \cos t)} = \frac{\cos t - \sin t}{\sin t + \cos t} $$

Ответ
$$ \begin{cases} y'_t = \frac{\cos t - \sin t}{\sin t + \cos t} \\ x = e^t \sin t \end{cases} $$

Формула второй производной

$$ y''_{xx} = \frac{(y'_x)'_t}{x'_t} $$

Пример 3
Найти вторую производную параметрически заданной функции $$ \begin{cases} y = \sin 2t \\ x = \cos^2 t \end{cases} $$
Решение

Как видно из формулы для начала нужно найти первую производную $ y'_x $, а затем уже можно получить вторую. Приступаем:

$$ y'_t = (\sin 2t)'_t = \cos 2t \cdot (2t)'_t = 2\cos 2t $$

$$ x'_t = (\cos^2 t)'_t = 2\cos t \cdot (\cos t)'_t = -2\cos t \sin t = -\sin 2t $$

Тогда первая производная параметрической функции равна:

$$ y'_x = \frac{2\cos 2t}{-\sin 2t} = -2 ctg 2t $$

Зная первую производную находим вторую. Используем формулу:

$$ y''_{xx} = \frac{ (y'_x)'_t }{x'_t} = \frac{(-2 ctg 2t)'_t}{-\sin 2t} = $$

$$ = \frac{2 \frac{2}{sin^2 2t} }{-\sin 2t} = - \frac{4}{\sin^3 2t} $$

Ответ
$$ \begin{cases} y''_{xx} = - \frac{4}{\sin^3 2t} \\ x = \cos^2 t \end{cases} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ