Производная параметрически заданной функции
Производная параметрически заданной функции находится по обычным правилам дифференцирования, но с использованием дополнительных формул, которые будут рассмотрены далее, а пока напомним как выглядит параметрическая функция.
Параметрическая функция задаётся в виде:
$$ \begin{cases} y = \phi(t) \\ x = \psi(t) \end{cases}, t \in [a;b] $$
Здесь $ t $ это параметр функции. Для нахождения производной такой функции нужно знать таблицу производных элементарных функций.
Формула первой производной
$$ y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} $$
| Пример 1 |
| Найти производную функции, заданной параметрически $$ \begin{cases} y = t^2 - 16 \\ x = t - 4 \end{cases} $$ |
| Решение |
|
Рассмотрев формулу понимаем, что для решения примера нужно найти неизвестные $ y'_t $ и $ x'_t $. Займемся этим: $$ y'_t = (t^2 - 16)'_t = 2t $$ $$ x'_t = (t-4)'_t = 1 $$ Обратите внимание! При записи производной нужно обязательно внизу писать $ t $. Теперь подставляем найденное в формулу: $$ y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{2t}{1} = 2t $$ Ответ необходимо записывать в следующем виде: $$ \begin{cases} y'_x = 2t \\ x = t - 4 \end{cases} $$ Обратите внимание, что обязательно составляется система, в которой кроме $ y'_x $ пишем ещё $ x = t - 4 $ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \begin{cases} y'_x = 2t \\ x = t - 4 \end{cases} $$ |
| Пример 2 |
| Найти производную параметрически-заданной функции $$ \begin{cases} y = e^t \cos t \\ x = e^t \sin t \end{cases} $$ |
| Решение |
|
Начинаем с нахождения производных функций $ y(t) $ и $ x(t) $. Не забываем правило дифференцирования сложной функции: $$ y'_t = (e^t \cos t)'_t = (e^t)'_t \cos t + e^t (\cos t)'_t = $$ $$ = e^t \cos t - e^t \sin t = e^t (\cos t - \sin t) $$ Аналогично находим производную $ x'_t $: $$ x'_t = (e^t \sin t)'_t = (e^t)'_t \sin t + e^t (\sin t)'_t = $$ $$ = e^t \sin t + e^t \cos t = e^t (\sin t + \cos t) $$ Подставляем в формулу найденные $ y'_t $ и $ x'_t $. Получаем: $$ y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{e^t (\cos t - \sin t)}{e^t (\sin t + \cos t)} = \frac{\cos t - \sin t}{\sin t + \cos t} $$ |
| Ответ |
| $$ \begin{cases} y'_t = \frac{\cos t - \sin t}{\sin t + \cos t} \\ x = e^t \sin t \end{cases} $$ |
Формула второй производной
$$ y''_{xx} = \frac{(y'_x)'_t}{x'_t} $$
| Пример 3 |
| Найдите вторую производную функции, заданной параметрически $$ \begin{cases} y = \sin 2t \\ x = \cos^2 t \end{cases} $$ |
| Решение |
|
Как видно из формулы для начала нужно найти первую производную $ y'_x $, а затем уже можно получить вторую. Приступаем: $$ y'_t = (\sin 2t)'_t = \cos 2t \cdot (2t)'_t = 2\cos 2t $$ $$ x'_t = (\cos^2 t)'_t = 2\cos t \cdot (\cos t)'_t = -2\cos t \sin t = -\sin 2t $$ Тогда первая производная параметрической функции равна: $$ y'_x = \frac{2\cos 2t}{-\sin 2t} = -2 ctg 2t $$ Зная первую производную находим вторую. Используем формулу: $$ y''_{xx} = \frac{ (y'_x)'_t }{x'_t} = \frac{(-2 ctg 2t)'_t}{-\sin 2t} = $$ $$ = \frac{2 \frac{2}{sin^2 2t} }{-\sin 2t} = - \frac{4}{\sin^3 2t} $$ |
| Ответ |
| $$ \begin{cases} y''_{xx} = - \frac{4}{\sin^3 2t} \\ x = \cos^2 t \end{cases} $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ