Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов

Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам. Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Универсальная тригонометрическая подстановка

Универсальная тригонометрическая подстановка в интегралах применяется в тех случаях, когда интеграл содержит тригонометрические функции и не вычисляется основыми методами и подстановками. Использовать данную подстановку стоит в крайних случаях, так как частно она приводит к громоздким преобразованиям. В этом случае нужно быть предельно внимательным и не допустить простейших ошибок.

Формулы

Основная замена состоит из тангенса. Но в задачах присутствуют кроме него синусы, косинусы, катангенсы. Формулы для них выражаются из универсальной тригонометрической подстановки:

Метод

Подставляя в выражение под знаком интеграла необходимые формулы, мы добьемся того, что интеграл от рациональной тригонометрической формулы превратится в обычный интеграл от рациональной дроби, который можно взять основными известными методами.

Примеры решений

Пример 1
Найти интеграл используя универсальную тригонометрическую подстановку:
Решение

Это интеграл часто оказывается головной болью для студентов. Казалось бы нельзя взять вручную его, а только компьютером. Но нет! Универсальная тригонометрическая подстановка решит его легко.

Выполняем замену и в интеграле:

Как видим, что после сокращения подобных интеграл из тригонометрического превратился в обычный, который является табличным, а значит можно записывать ответ:

Ответ
Пример 2
Решить интеграл
Решение

Заменяем в интеграле косинус и дифференциал на формулы тригонометрической подстановки:

Ответ
Решение задач от 20 руб/шт, от 2 часов
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб, от 4 часов
подробное написание
Пример 3
Взять интеграл
Решение

Заменяем косинус и синус, а также дифференциал на подстановку и получаем:

Пользуясь таблицей интегрирования находим интеграл:

Не забывает выполнить обратную подстановку, чтобы записать окончательный ответ:

Ответ

 

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ