Универсальная тригонометрическая подстановка
Универсальная тригонометрическая подстановка в интегралах $ t = tg \frac{x}{2} $ применяется в тех случаях, когда интеграл содержит тригонометрические функции и не вычисляется основными методами и подстановками. Использовать данную подстановку стоит в крайних случаях, так как часто она приводит к громоздким преобразованиям. В этом случае нужно быть предельно внимательным и не допустить простейших ошибок.
Формулы
Основная замена $ t = tg \frac{x}{2} $ состоит из тангенса. Но в задачах присутствуют кроме него синусы, косинусы, котангенсы. Формулы для них выражаются из универсальной тригонометрической подстановки:
$$ \sin x = \frac{2t}{1+t^2}; \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2} $$ $$ tg x = \frac{2t}{1-t^2}; ctg x = \frac{1-t^2}{2t} $$
$$ x = 2arctg t; dx = \frac{2dt}{1+t^2} $$
Подставляя в выражение под знаком интеграла необходимые формулы, мы добьемся того, что интеграл от рациональной тригонометрической формулы превратится в обычный интеграл от рациональной дроби, который можно взять основными известными методами.
| Пример 1 |
| Найти интеграл используя универсальную тригонометрическую подстановку: $$ \int \frac{dx}{\sin x} $$ |
| Решение |
|
Это интеграл часто оказывается головной болью для студентов. Казалось бы нельзя взять вручную его, а только компьютером. Но нет! Универсальная тригонометрическая подстановка решит его легко. Выполняем замену $ \sin x = \frac{2t}{1+t^2} $ и $ dx = \frac{2dt}{1+t^2} $ в интеграле: $$ \int \frac{dx}{\sin x} = \int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}} = \int \frac{dt}{t} = $$ Как видим, что после сокращения подобных интеграл из тригонометрического превратился в обычный, который является табличным, а значит можно записывать ответ: $$ = \ln |t| + C = \ln \bigg |tg\frac{x}{2} \bigg | + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \int \frac{dx}{\sin x} = \ln \bigg |tg\frac{x}{2} \bigg | + C $$ |
| Пример 2 |
| Решить интеграл с помощью тригонометрической подстановки $ \int \frac{dx}{2-\cos x} $ |
| Решение |
|
Заменяем в интеграле косинус и дифференциал на формулы тригонометрической подстановки: $$ \int \frac{dx}{2-\cos x} = \int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{2-\frac{1-t^2}{1+t^2}} = \int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{2(1+t^2)-1-t^2}{1+t^2}} = $$ $$ = \int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{1+t^2}{1+t^2}} = \int \frac{2dt}{1+t^2} = 2 \int \frac{dt}{1+t^2} = $$ $$ = 2arctg t + C = 2arctg \bigg ( tg\frac{x}{2} \bigg ) + C $$ |
| Ответ |
| $$ \int \frac{dx}{2-\cos x} = 2arctg \bigg ( tg\frac{x}{2} \bigg ) + C $$ |
| Пример 3 |
| Взять интеграл $ \int \frac{dx}{\cos x - \sin x} $ |
| Решение |
|
Заменяем косинус и синус, а также дифференциал на подстановку и получаем: $$ \int \frac{dx}{\cos x - \sin x} = \int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{1-t^2}{1+t^2} - \frac{2t}{1+t^2}} dt = $$ $$ = \int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{1-2t-t^2}{1+t^2}} dt = \int \frac{2}{1-2t-t^2} dt = $$ $$ = -2 \int \frac{dt}{t^2+2t-1} = -2 \int \frac{dt}{t^2+2\cdot 1 \cdot t + 1 - 2} = $$ $$ = -2 \int \frac{dt}{(t+1)^2 - 2} = 2 \int \frac{d(t+1)}{2 - (t+1)^2} = $$ Пользуясь таблицей интегрирования находим интеграл: $$ = 2\cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln \bigg |\frac{\sqrt{2} + t+1}{\sqrt{2}-t-1}\bigg | + C=\frac{1}{\sqrt{2}} \ln \bigg |\frac{\sqrt{2} + t+1}{\sqrt{2}-t-1}\bigg | + C = $$ Не забывает выполнить обратную подстановку, чтобы записать окончательный ответ: $$ = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln \bigg |\frac{\sqrt{2} + tg \frac{x}{2}+1}{\sqrt{2}-tg \frac{x}{2}-1}\bigg | + C $$ |
| Ответ |
| $$ \int \frac{dx}{\cos x - \sin x} =\frac{1}{\sqrt{2}} \ln \bigg |\frac{\sqrt{2} + tg \frac{x}{2}+1}{\sqrt{2}-tg \frac{x}{2}-1}\bigg | + C $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ