Метод разложения интегралов
Формула метода разложения интегралов имеет вид:
$$ \int f(x) dx = \int f_1(x) dx + \int f_2(x) dx $$
Стоит отметить, что функции $ f_1(x) $ и $ f_2(x) $ подбирают таким образом, чтобы интегралы от них брались непосредственно.
| Пример 1 |
| Найти интеграл методом разложения $$ \int (1-\sqrt{x})^2 dx $$ |
| Решение |
|
Выполняем возведение подынтегрального выражения в квадрат: $$ \int (1-\sqrt{x})^2 dx = \int (1-2\sqrt{x}+x) dx = $$ Теперь используем метод разложения интегралов: $$ =\int 1 dx - \int 2\sqrt{x} dx + \int xdx = $$ Применяем непосредственное интегрирование: $$ x - 2\int x^\frac{1}{2} dx + \frac{x^2}{2} + C = x - \frac{4}{3} x^\frac{3}{2} + \frac{1}{2} x^2 + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \int (1-\sqrt{x})^2 dx = x - \frac{4}{3} x^\frac{3}{2} + \frac{1}{2} x^2 + C $$ |
| Пример 2 |
| Используя метод разложения, найти интеграл $$ \int \frac{x^4 - 6x^3 - 8x^2 + 9x - 5}{x^2} dx $$ |
| Решение |
|
Выполняем разложение интеграла на пять слагаемых: $$ \int \frac{x^4 - 6x^3 - 8x^2 + 9x - 5}{x^2} dx = $$ $$ = \int \frac{x^4}{x^2}dx - \int \frac{6x^3}{x^2}dx - \int \frac{8x^2}{x^2}dx+\int \frac{9x}{x^2}dx - \int \frac{5}{x^2} dx = $$ Там где возможно упрощаем дроби: $$ = \int x^2 dx - 6\int x dx - 8\int dx + 9\int \frac{dx}{x} - 5\int \frac{dx}{x^2} dx = $$ Применяем метод непосредственного интегрирования: $$ = \frac{x^3}{3} - 3x^2 - 8x + 9\ln |x| + \frac{5}{x} + C $$ |
| Ответ |
| $$ \int \frac{x^4 - 6x^3 - 8x^2 + 9x - 5}{x^2} dx = \frac{x^3}{3} - 3x^2 - 8x + 9\ln |x| + \frac{5}{x} + C $$ |