Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Метод разложения интегралов

Формула

Формула метода разложения интегралов имеет вид:

$$ \int f(x) dx = \int f_1(x) dx + \int f_2(x) dx $$

Стоит отметить, что функции $ f_1(x) $ и $ f_2(x) $ подбирают таким образом, чтобы интегралы от них брались непосредственно.

Примеры решений

Пример 1
Найти интеграл методом разложения: $$ \int (1-\sqrt{x})^2 dx $$
Решение

Выполняем возведение подынтегрального выражения в квадрат:

$$ \int (1-\sqrt{x})^2 dx = \int (1-2\sqrt{x}+x) dx = $$

Теперь используем метод разложения интегралов:

$$ =\int 1 dx - \int 2\sqrt{x} dx + \int xdx = $$

Применяем непосредственное интегрирование:

$$ x - 2\int x^\frac{1}{2} dx + \frac{x^2}{2} + C = x - \frac{4}{3} x^\frac{3}{2} + \frac{1}{2} x^2 + C $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \int (1-\sqrt{x})^2 dx = x - \frac{4}{3} x^\frac{3}{2} + \frac{1}{2} x^2 + C $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2
Найти интеграл: $$ \int \frac{x^4 - 6x^3 - 8x^2 + 9x - 5}{x^2} dx $$ 
Решение

Выполняем разложение интеграла на пять слагаемых:

$$ \int \frac{x^4 - 6x^3 - 8x^2 + 9x - 5}{x^2} dx = $$

$$ = \int \frac{x^4}{x^2}dx - \int \frac{6x^3}{x^2}dx - \int \frac{8x^2}{x^2}dx+\int \frac{9x}{x^2}dx - \int \frac{5}{x^2} dx = $$

Там где возможно упрощаем дроби:

$$ = \int x^2 dx - 6\int x dx - 8\int dx + 9\int \frac{dx}{x} - 5\int \frac{dx}{x^2} dx = $$

Применяем метод непосредственного интегрирования:

$$ = \frac{x^3}{3} - 3x^2 - 8x + 9\ln |x| + \frac{5}{x} + C $$

Ответ
$$ \int \frac{x^4 - 6x^3 - 8x^2 + 9x - 5}{x^2} dx = \frac{x^3}{3} - 3x^2 - 8x + 9\ln |x| + \frac{5}{x} + C $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ