Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов

Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам. Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Замена переменной в неопределенном интеграле

Замена переменной в неопределенном интеграле используется при нахождении интегралов, в которых одна из функций является производной другой функции. Пусть есть интеграл , сделаем замену . Отметим, что функция является дифференцируемой, поэтому можно найти .

Теперь подставляем в интеграл и получаем, что:

Эта и есть формула замены переменной в неопределенном интеграле.

Алгоритм метода замены переменной

Таким образом, если в задаче задан интеграл вида: Целесообразно выполнить замену переменной на новую:

После этого интеграл будет представлен в виде, который легко взять основными методами интегрирования:

Не нужно забывать также вернуть замененную переменную назад к .

Примеры решений

Пример 1

Найти неопределенный интеграл методом замены переменной:

Решение

Выполняем замену переменной в интеграле на :

Интеграл экспоненты всё такой же по таблице интегрирования, хоть вместо написано :

Ответ
Пример 2

Найти неопределенный интеграл методом замены переменной:

Решение

Замечаем, что , поэтому выгодно сделать замену переменной

Тогда после подставления её в интеграл будем иметь:

В самом конце очень важно не забывать возвращать замену назад, чтобы получить окончательный ответ.

Ответ
Решение задач от 20 руб/шт, от 2 часов
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб, от 4 часов
подробное написание
Пример 3
Найти интеграл с помощью замены переменной:
Решение

Как обычно анализируем интеграл и замечаем, что в интеграле есть функция и её производная. А именно этой функцией является и её производная . Поэтому замену переменной сделаем такой:

Подставляем в интеграл и решаем:

Выполняем обратную замену:

Ответ

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ