Метод замены переменной в интеграле
Замена переменной в неопределенном интеграле используется при нахождении интегралов, в которых одна из функций является производной другой функции.
Таким образом, если в задаче задан интеграл вида: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi'(x) dx $$ Целесообразно выполнить замену переменной на новую: $$ t = \phi(x) $$ $$ dt = \phi'(t) dt $$
После этого интеграл будет представлен в виде, который легко взять основными методами интегрирования: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi'(x) dx = \int f(t)dt $$
Не нужно забывать также вернуть замененную переменную назад к $ x $.
| Пример 1 |
|
Найти интеграл методом замены переменной: $$ \int e^{3x} dx $$ |
| Решение |
|
Выполняем замену переменной в интеграле на $ t = 3x, dt = 3dx $: $$ \int e^{3x} dx = \int e^t \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int e^t dt = $$ Интеграл экспоненты всё такой же по таблице интегрирования, хоть вместо $ x $ написано $ t $: $$ = \frac{1}{3} e^t + C = \frac{1}{3} e^{3x} + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C $$ |
| Пример 2 |
|
Найти неопределенный интеграл методом замены переменной: $$ \int \sin^5 x \cos x dx $$ |
| Решение |
|
Замечаем, что $ (\sin x)' = \cos x $, поэтому выгодно сделать замену переменной $$ t = \sin x, dt = \cos x dx $$ Тогда после подставления её в интеграл будем иметь: $$ \int t^5 dt = \frac{t^6}{6} + C = \frac{1}{6} \sin^6 x + C $$ В самом конце очень важно не забывать возвращать замену назад, чтобы получить окончательный ответ. |
| Ответ |
| $$ \int \sin^5 x \cos x dx =\frac{1}{6}\sin^6 x + C $$ |
| Пример 3 |
| Найти интеграл с помощью замены переменной: $$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx $$ |
| Решение |
|
Как обычно анализируем интеграл и замечаем, что в интеграле есть функция и её производная. А именно этой функцией является $ \sqrt{x} $ и её производная $ \frac{1}{2\sqrt{x}} $. Поэтому замену переменной сделаем такой: $$ t = \sqrt{x}, dt = \frac{dx}{2\sqrt{x}} $$ Подставляем в интеграл и решаем: $$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx = 2\int \cos t = 2\sin t + C = $$ Выполняем обратную замену: $$ = 2\sin \sqrt{x} + C $$ |
| Ответ |
| $$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx = 2\sin \sqrt{x} + C $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ