Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Замена переменной в неопределенном интеграле

Замена переменной в неопределенном интеграле используется при нахождении интегралов, в которых одна из функций является производной другой функции. Пусть есть интеграл $ \int f(x) dx $, сделаем замену $ x=\phi(t) $. Отметим, что функция $ \phi(t) $ является дифференцируемой, поэтому можно найти $ dx = \phi'(t) dt $.

Теперь подставляем $ \begin{vmatrix} x = \phi(t) \\ dx = \phi'(t) dt \end{vmatrix} $ в интеграл и получаем, что:

$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi'(t) dt $$

Эта и есть формула замены переменной в неопределенном интеграле.

Алгоритм метода замены переменной

Таким образом, если в задаче задан интеграл вида: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi'(x) dx $$ Целесообразно выполнить замену переменной на новую: $$ t = \phi(x) $$ $$ dt = \phi'(t) dt $$

После этого интеграл будет представлен в виде, который легко взять основными методами интегрирования: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi'(x) dx = \int f(t)dt $$

Не нужно забывать также вернуть замененную переменную назад к $ x $.

Примеры решений

Пример 1

Найти неопределенный интеграл методом замены переменной: $$ \int e^{3x} dx $$

Решение

Выполняем замену переменной в интеграле на $ t = 3x, dt = 3dx $:

$$ \int e^{3x} dx = \int e^t \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int e^t dt = $$

Интеграл экспоненты всё такой же по таблице интегрирования, хоть вместо $ x $ написано $ t $:

$$ = \frac{1}{3} e^t + C = \frac{1}{3} e^{3x} + C $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C $$
Пример 2

Найти неопределенный интеграл методом замены переменной:

$$ \int \sin^5 x \cos x dx $$

Решение

Замечаем, что $ (\sin x)' = \cos x $, поэтому выгодно сделать замену переменной $$ t = \sin x, dt = \cos x dx $$

Тогда после подставления её в интеграл будем иметь:

$$ \int t^5 dt = \frac{t^6}{6} + C = \frac{1}{6} \sin x + C $$

В самом конце очень важно не забывать возвращать замену назад, чтобы получить окончательный ответ.

Ответ
$$ \int \sin^5 x \cos x dx =\frac{1}{6}\sin x + C $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 3
Найти интеграл с помощью замены переменной: $$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx $$
Решение

Как обычно анализируем интеграл и замечаем, что в интеграле есть функция и её производная. А именно этой функцией является $ \sqrt{x} $ и её производная $ \frac{1}{2\sqrt{x}} $. Поэтому замену переменной сделаем такой: $$ t = \sqrt{x}, dt = \frac{dx}{2\sqrt{x}} $$

Подставляем в интеграл и решаем:

$$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx = 2\int \cos t = 2\sin t + C = $$

Выполняем обратную замену:

$$ = 2\sin \sqrt{x} + C $$

Ответ
$$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx = 2\sin \sqrt{x} + C $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ