Метод непосредственного интегрирования

Найдите интеграл методом непосредственного интегрирования:

$$ \int \bigg ( x^3 + \frac{3}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{x} \bigg ) dx $$

По свойству интеграл суммы есть сумма интегралов:

$$ \int \bigg ( x^3 + \frac{3}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{x} \bigg ) dx = \int x^3 dx + \int \frac{3 dx}{2\sqrt{x}} + \int \frac{2 dx}{x} $$

Первый интеграл является табличным, поэтому используем непосредственное интегрирование:

$$ \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4} + C $$

Во втором интеграле есть константа, которую сразу можно вынести за знак, а далее интеграл превратится в табличный:

$$ \int \frac{3dx}{2\sqrt{x}} = 3 \int \frac{dx}{2\sqrt{x}} = 3 \sqrt{x} + C $$

В третьем интеграле выносим константу, а затем применяем метод непосредственного интегрирования:

$$ \int \frac{2dx}{x} = 2\int \frac{dx}{x} = 2 \ln x + C $$

Суммируем в одну запись и получаем:

$$ \int \bigg ( x^3 + \frac{3}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{x} \bigg ) dx = \frac{x^4}{4} + 3\sqrt{x} + 2\ln x + C $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Вычислить определенный интеграл методом непосредственного интегрирования:

$$ \int_0^1 (\sqrt{x} + x)^2 dx $$

Преобразуем выражение под интегралом для предстоящего интегрирования по частям. Для этого воспользуемся формулой: $$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$

Выполняем преобразование:

$$ \int_0^1 (\sqrt{x} + x)^2 dx = \int_0^1 (x + 2x\sqrt{x} + x^2) dx = $$

По свойствам степеней дополнительно преобразуем второе слагаемое в вид:

$$ 2x\sqrt{x} = 2x \cdot x^\frac{1}{2} = 2x^{1+\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{3}{2}} $$

Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, то:

$$ \int_0^1 (\sqrt{x} + x)^2 dx = \int_0^1 x dx + \int_0^1 2x^\frac{3}{2} dx + \int_0^1 x^2 dx = $$

Во слагаемом выносим за знак интеграла константу, чтобы интеграл стал табличным:

$$ = \frac{x^2}{2} \bigg |_0 ^1 + 2 \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} \bigg |_0 ^1 + \frac{x^3}{3} \bigg |_0^1 = \frac{x^2}{2} \bigg |_0^1 + 2\cdot \frac{2}{5} x^\frac{5}{2} \bigg |_0^1 + \frac{x^3}{3} \bigg |_0^1 = $$

Применяя формулу Ньютона-Лейбница подставляем пределы интегрирования:

$$ = \frac{1}{2} + \frac{4}{5} + \frac{1}{3} = \frac{15+24+10}{30} = \frac{49}{30} $$