Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Интегрирование тригонометрических функций

Формула

Формула интегрирования тригонометрических функций в общем виде:

$$ \int \sin^n x \cos^n x dx $$

где $ m $ и $ n $ - неотрицательные целые числа.

Рассмотрим пару случаев:

  1. Хотя бы один из показателей $ m $ или $ n $ нечётный
  2. Оба показателя $ m $ и $ n $ чётные

В первом случае применяем непосредственное интегрирование, а во втором могут помочь тригонометрические формулы:

$$ \sin^2 x = \frac{1}{2}(1-\cos 2x); \cos^2x = \frac{1}{2}(1+\cos 2x); \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x; $$

Так же существуют интегралы вида:

$$ \int \sin mx \sin nx dx; \int \cos mx \cos nx dx; \int \sin mx \cos nx dx $$

Их можно находить с помощью использования тригонометрических формул:

$$ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)] $$

$$ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)] $$

$$ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)] $$

Примеры решений

Пример 1
Найти интеграл: $$ \int \sin^3 x \cos^2 x dx $$
Решение

Замечаем, что одна из степеней является нечетной, поэтому интегрирование тригонометрических функций вместе с методом непосредственного интегрирования должно помочь получить ответ к данной задаче.

Прежде выполним подведение под знак дифференциала:

$$ \int \sin^3 x \cos^2 x dx = \int \sin^2 x \cos^2 x \sin x dx = -\int \sin^2 x \cos^2 x d(\cos x) = $$

Избавляемся от синуса через тригонометрическое тождество и выполняем разложение на два интеграла:

$$ = -\int (1-\cos^2 x) \cos^2 x d(\cos x) = -\int \cos^2 x d(\cos x) + \int \cos^4 x d(\cos x) = $$

Так как полученные интегралы содержат табличные функции, то записываем ответ:

$$ = -\frac{1}{3} \cos^2 x + \frac{1}{5} \cos^5 x + C $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \int \sin^3 x \cos^2 x dx = -\frac{1}{3} \cos^2 x + \frac{1}{5} \cos^5 x + C $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2
Найти интеграл произведения тригонометрических функций: $$ \int \sin^2 x \cos^4 x dx $$
Решение

Учитывая, что $ \cos^4 x = \cos^2 x \cdot \cos^2 x $ преобразуем выражение под знаком интеграла:

$$ \int \sin^2 x \cos^4 x dx = \int \sin^2 x \cos^2 x \cos^2 x dx = \int (\sin x \cos x)^2 \cos^2 x dx = $$

Выполняем преобразование под синус двойного угла $ (\sin x \cos x)^2 = \frac{1}{4}\sin^2 2x $:

$$ = \frac{1}{4} \int \sin^2 2x \cos^2 x dx = \frac{1}{4} \int \sin^2 2x \frac{1+\cos 2x}{2} dx = $$

Раскладываем интеграл на два интеграла:

$$ = \frac{1}{8} \int \sin^2 2x dx + \frac{1}{8} \int \sin^2 2x \cdot \cos 2x dx = $$

С помощью формулы понижения степени синуса $ \sin^2 2x = \frac{1-\cos 4x}{2} $ получаем:

$$ = \frac{1}{8} \int \frac{1-\cos 4x}{2} dx + \frac{1}{16} \int \sin^2 2x d(\sin 2x) dx = $$

Выполняем интегрирование:

$$ = \frac{1}{16} \int dx - \frac{1}{16} \int \cos 4x dx +\frac{1}{16} \frac{\sin^3 2x}{3} = $$

$$ = \frac{1}{16} x - \frac{1}{64} \sin 4x +\frac{1}{48} \sin^3 2x + C $$

Ответ
$$ \int \sin^2 x \cos^4 x dx = \frac{1}{16} x - \frac{1}{64} \sin 4x +\frac{1}{48} \sin^3 2x + C $$
Пример 3
Найти интеграл тригонометрической функции: $$ \int (\cos 5x \cos x) dx $$ 
Решение

С помощью формулы произведения косинусов преобразуем:

$$ \cos 5x \cos x = \frac{1}{2}[\cos(5x-x)+\cos(5x+x)] = \frac{1}{2}[\cos4x+\cos6x] $$

Добавляем знак интеграла и выполняем разложение:

$$ \int \frac{1}{2}[\cos4x+\cos6x] dx = \frac{1}{2}\int \cos 4x dx + \frac{1}{2}\int \cos 6x dx = $$

Зная таблицу интегрирования элементарных функций получаем ответ:

$$ = \frac{1}{8} \sin 4x + \frac{1}{12} \sin 6x + C $$

Ответ
$$ \int (\cos 5x \cos x) dx = \frac{1}{8} \sin 4x + \frac{1}{12} \sin 6x + C $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ