Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Интегрирование рациональных дробей

Формула

Дробь называется правильной, если старшая степень числителя меньше старшей степени знаменателя. Интеграл правильной рациональной дроби имеет вид:

$$ \int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c}dx $$

Формула на интегрирование рациональных дробей зависит от корней многочлена в знаменателе. Если многочлен $ ax^2+bx+c $ имеет:

  1. Только комплексные корни, то из него необходимо выделить полный квадрат: $$ \int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c} dx = \int \frac{mx+n}{x^2 \pm a^2} $$
  2. Различные действительные корни $ x_1 $ и $ x_2 $, то нужно выполнить разложение интеграла и найти неопределенные коэффициенты $ A $ и $ B $: $$ \int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c} dx = \int \frac{A}{x-x_1} dx + \int \frac{B}{x-x_2} dx $$
  3. Один кратный корень $ x_1 $, то выполняем разложение интеграла и находим неопределенные коэффициенты $ A $ и $ B $ для такой формулы: $$ \int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c} dx = \int \frac{A}{(x-x_1)^2}dx + \int \frac{B}{x-x_1} dx $$

Если дробь является неправильной, то есть старшая степень в числителе больше либо равна старшей степени знаменателя, то сначала её нужно привести к правильному виду путём деления многочлена из числителя на многочлен из знаменателя. В данном случае формула интегрирования рациональной дроби имеет вид:

$$ \int \frac{P(x)}{ax^2+bx+c}dx = \int Q(x) dx + \int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c}dx $$

Примеры решений

Пример 1
Найти интеграл рациональной дроби: $$ \int \frac{dx}{x^2-10x+16} $$
Решение

Дробь является правильной и многочлен имеет только комплексные корни. Поэтому выделим полный квадрат:

$$ \int \frac{dx}{x^2-10x+16} = \int \frac{dx}{x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9} = $$

Сворачиваем полный квадрат и подводим под знак дифференциала $ x-5 $:

$$ = \int \frac{dx}{(x-5)^2 - 9} = \int \frac{d(x-5)}{(x-5)^2-9} = $$

Пользуясь таблицей интегралов получаем:

$$ = \frac{1}{2 \cdot 3} \ln \bigg | \frac{x-5 - 3}{x-5 + 3} \bigg | + C = \frac{1}{6} \ln \bigg |\frac{x-8}{x-2} \bigg | + C $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \int \frac{dx}{x^2-10x+16} = \frac{1}{6} \ln \bigg |\frac{x-8}{x-2} \bigg | + C $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2
Выполнить интегрирование рациональных дробей: $$ \int \frac{x+2}{x^2+5x-6} dx $$
Решение

Решим квадратное уравнение: $$ x^2+5x-6 = 0 $$

$$ x_{12} = \frac{-5\pm \sqrt{25-4\cdot 1 \cdot (-6)}}{2} = \frac{-5 \pm 7}{2} $$

Записываем корни:

$$ x_1 = \frac{-5-7}{2} = -6; x_2 = \frac{-5+7}{2} = 1 $$

С учётом полученных корней, преобразуем интеграл:

$$ \int \frac{x+2}{x^2+5x-6} dx = \int \frac{x+2}{(x-1)(x+6)} dx = $$

Выполняем разложение рациональной дроби:

$$ \frac{x+2}{(x-1)(x+6)} = frac{A}{x-1} dx + \int \frac{B}{x+6} dx = \frac{A(x-6)+B(x-1)}{(x-1)(x+6)} $$

Приравниваем числители и находим коэффициенты $ A $ и $ B $:

$$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$

$$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$

$$ \begin{cases} A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} A = \frac{3}{7} \\ B = \frac{4}{7} \end{cases} $$

Подставляем в интеграл найденные коэффициенты и решаем его:

$$ \int \frac{x+2}{(x-1)(x+6)}dx = \int \frac{\frac{3}{7}}{x-1} dx + \int \frac{\frac{4}{7}}{x+6} dx = $$

$$ = \frac{3}{7} \int \frac{dx}{x-1} + \frac{4}{7} \int \frac{dx}{x+6} = \frac{3}{7} \ln |x-1| + \frac{4}{7} \ln |x+6| + C $$

Ответ
$$ \int \frac{x+2}{x^2+5x-6} dx = \frac{3}{7} \ln |x-1| + \frac{4}{7} \ln |x+6| + C $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ