Интегрирование иррациональных функций
Формула на интегрирование иррациональных функций зависит от типа предлагаемого к решению интеграла, в частности от подкоренного выражения:
- Линейная функция: $$ \sqrt[n]{ax+b}, (a \neq 0) $$ Для решения такого интеграла удобно применить подстановку $ t = \sqrt[n]{ax+b} $
- Квадратный многочлен: $$ \sqrt{ax^2+bx+c} $$ В этом случае необходимо дополнить многочлен до полного квадрата, а затем по одной из формул таблицы интегрирования решить полученный интеграл вида $ \int \frac{dx}{\sqrt{\alpha^2 \pm x^2}} $
- Разность квадратов: $$ \sqrt{a^2-x^2} $$ Используем подстановку $ x = a\sin t $, затем по формуле $ 1-\sin^2 t = \cos^2 t $ продолжаем нахождение интеграла
| Пример 1 |
| Найти интеграл иррациональной функции: $$ \int \frac{xdx}{\sqrt[3]{x+1}} $$ |
| Решение |
|
Выполняем замену: $$ t = \sqrt[3]{x+1} $$ Выражаем из замены $ x $: $$ x = t^3-1 $$ Находим $ dx $: $$ dx = 3t^2 dt $$ Подставляем в интеграл полученные данные: $$ \int \frac{xdx}{\sqrt[3]{x+1}} = \int \frac{(t^3-1)3t^2}{t} dt = $$ Выполняем разложение подынтегрального выражения на две дроби: $$ = \int 3t^4 dt - \int 3t dt = \frac{3t^5}{5} - \frac{3t^2}{2} + C = $$ Возвращаем замену назад: $$ = \frac{3}{5}(\sqrt[3]{x+1})^5 - \frac{3}{2}(\sqrt[3]{x+1})^2 + C = \frac{3}{5}\sqrt[3]{(x+1)^5}-\frac{3}{2}\sqrt[3]{(x+1)^2} + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \int \frac{xdx}{\sqrt[3]{x+1}} = \frac{3}{5}\sqrt[3]{(x+1)^5}-\frac{3}{2}\sqrt[3]{(x+1)^2} + C $$ |
| Пример 2 |
| Выполнить интегрирование иррациональных функций: $$ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-6x+13}} $$ |
| Решение |
|
Замечаем, что под корнем находится квадратный многочлен. Это значит, что можно выделить под корнем полный квадрат, а затем решить интеграл по таблице интегрирования основных функций. Выделяем полный квадртат: $$ x^2-6x+13 = x^2 - 2\cdot 3 + 3^2 + 4 = (x - 3)^2 + 4 $$ Подставляем полученное выражение под корень в интеграле: $$ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-6x+13}} = \int \frac{dx}{\sqrt{(x-3)^2+4}} = $$ $$ = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-6x+13}} = \ln | x-3 + \sqrt{x^2-6x+13}| + C $$ |
| Ответ |
| $$ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-6x+13}} = \ln | x-3 + \sqrt{x^2-6x+13}| + C $$ |
| Пример 3 |
| Решить интеграл с иррациональностью: $$ \int \sqrt{1-x^2} dx $$ |
| Решение |
|
Интеграл попадает под третий случай, в котором необходимо выполнить подстановку: $$ x = \sin t; dx = \cos t; t = \arcsin x $$ Записываем решение: $$ \int \sqrt{1-x^2} dx = \int \sqrt{(1-(\sin t)^2}) \cos t dt = $$ Воспользовавшись тригонометрической формулой $ 1 - \sin^2 t = \cos^2 t $ получаем: $$ = \int \sqrt{\cos^2 t} \cos t = \int \cos^2 t dt = $$ С учётом формулы понижения степени косинуса $ \cos^2 t = \frac{1+\cos 2t}{2} $ имеем: $$ = \int \frac{1+\cos 2t}{2} dt = \frac{1}{2} \int (1+\cos 2t) dt = $$ Воспользуемся свойством разложения интеграла: $$ \frac{1}{2} \int dt + \frac{1}{2} \int \cos 2t dt = \frac{1}{2} t + \frac{1}{4} \sin 2t + C = $$ Выполняем обратную подстановку: $$ = \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{4} \sin (2\arcsin x) + C $$ |
| Ответ |
| $$ \int \sqrt{1-x^2} dx = \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{4} \sin (2\arcsin x) + C $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ