Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Интегрирование иррациональных функций

Формула

Формула на интегрирование иррациональных функций зависит от типа предлагаемого к решению интеграла, в частности от подкоренного выражения:

  1. Линейная функция: $$ \sqrt[n]{ax+b}, (a \neq 0) $$ Для решения такого интеграла удобно применить подстановку $ t = \sqrt[n]{ax+b} $
     
  2. Квадратный многочлен: $$ \sqrt{ax^2+bx+c} $$ В этом случае необходимо дополнить многочлен до полного квадрата, а затем по одной из формул таблицы интегрирования решить полученный интеграл вида $ \int \frac{dx}{\sqrt{\alpha^2 \pm x^2}} $
     
  3. Разность квадратов: $$ \sqrt{a^2-x^2} $$ Используем подстановку $ x = a\sin t $, затем по формуле $ 1-\sin^2 t = \cos^2 t $ продолжаем нахождение интеграла

Примеры решений

Пример 1
Найти интеграл иррациональной функции: $$ \int \frac{xdx}{\sqrt[3]{x+1}} $$
Решение

Выполняем замену: $$ t = \sqrt[3]{x+1} $$

Выражаем из замены $ x $: $$ x = t^3-1 $$

Находим $ dx $: $$ dx = 3t^2 dt $$

Подставляем в интеграл полученные данные:

$$ \int \frac{xdx}{\sqrt[3]{x+1}} = \int \frac{(t^3-1)3t^2}{t} dt = $$

Выполняем разложение подынтегрального выражения на две дроби:

$$ = \int 3t^4 dt - \int 3t dt = \frac{3t^5}{5} - \frac{3t^2}{2} + C = $$

Возвращаем замену назад:

$$ = \frac{3}{5}(\sqrt[3]{x+1})^5 - \frac{3}{2}(\sqrt[3]{x+1})^2 + C = \frac{3}{5}\sqrt[3]{(x+1)^5}-\frac{3}{2}\sqrt[3]{(x+1)^2} + C $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \int \frac{xdx}{\sqrt[3]{x+1}} = \frac{3}{5}\sqrt[3]{(x+1)^5}-\frac{3}{2}\sqrt[3]{(x+1)^2} + C $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2
Выполнить интегрирование иррациональных функций: $$ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-6x+13}} $$
Решение

Замечаем, что под корнем находится квадратный многочлен. Это значит, что можно выделить под корнем полный квадрат, а затем решить интеграл по таблице интегрирования основных функций.

Выделяем полный квадртат:

$$ x^2-6x+13 = x^2 - 2\cdot 3 + 3^2 + 4 = (x - 3)^2 + 4 $$

Подставляем полученное выражение под корень в интеграле:

$$ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-6x+13}} = \int \frac{dx}{\sqrt{(x-3)^2+4}} = $$

$$ = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-6x+13}} = \ln | x-3 + \sqrt{x^2-6x+13}| + C $$

Ответ
$$ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-6x+13}} = \ln | x-3 + \sqrt{x^2-6x+13}| + C $$
Пример 3
Решить интеграл с иррациональностью: $$ \int \sqrt{1-x^2} dx $$
Решение

Интеграл попадает под третий случай, в котором необходимо выполнить подстановку:

$$ x = \sin t; dx = \cos t; t = \arcsin x $$

Записываем решение:

$$ \int \sqrt{1-x^2} dx = \int \sqrt{(1-(\sin t)^2}) \cos t dt = $$

Воспользовавшись тригонометрической формулой $ 1 - \sin^2 t = \cos^2 t $ получаем:

$$ = \int \sqrt{\cos^2 t} \cos t = \int \cos^2 t dt = $$

С учётом формулы понижения степени косинуса $ \cos^2 t = \frac{1+\cos 2t}{2} $ имеем:

$$ = \int \frac{1+\cos 2t}{2} dt = \frac{1}{2} \int (1+\cos 2t) dt = $$

Воспользуемся свойством разложения интеграла:

$$ \frac{1}{2} \int dt + \frac{1}{2} \int \cos 2t dt = \frac{1}{2} t + \frac{1}{4} \sin 2t + C = $$

Выполняем обратную подстановку:

$$ = \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{4} \sin (2\arcsin x) + C $$

Ответ
$$ \int \sqrt{1-x^2} dx = \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{4} \sin (2\arcsin x) + C $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ