Метод интегрирования по частям
Интегрирование по частям – метод для решения интегралов от произведения двух элементарных функций. Одна из них легко дифференцируема, а другая интегрируема. Работает техника для неопределенных и определенных интегралов.
Формула для неопределенного интеграла:
$$ \int udv = uv - \int vdu $$
Формула для определенного интеграла:
$$ \int \limits_{a}^{b} udv = uv \bigg |_{a}^{b} - \int \limits_{a}^{b} vdu $$
Обратите внимание ещё раз на то, что под значком интеграла стоит произведение двух функций. Это как признак того, что для решения подойдет данный метод.
| Пример 1 |
| Найдите интеграл методом интегрирования по частям $ \int xe^xdx $ |
| Решение |
|
Видим, что подынтегральная функция состоит из двух функций, одна из которых при дифференцировании моментально превращается в единицу, а другая легко интегрируется. Для решения интеграла используем метод интегрирования по частям. Положим, $ u = x \rightarrow du=dx $, а $ dv = e^x dx \rightarrow v=e^x $ Подставляем найденные значения в первую формулу интегрирования и получаем $$ \int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C. $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
|
$$ \int xe^x dx = xe^x - e^x + C $$ |
| Пример 2 |
| Найти неопределенный интеграл методом интегрирования по частям $ \int x\cos x dx $ |
| Решение |
|
В качестве неизвестных функций $ u $ и $ v $ возьмем следующие: $ u=x \rightarrow du=dx $ и $ dv = \cos x dx \rightarrow v = \sin x $. Подставим функции $ u $ и $ v $ в первую формулу $$ \int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C. $$ |
| Ответ |
|
$$ \int x \cos x dx = x \sin x + \cos x + C $$ |
| Пример 3 |
| Вычислить интеграл интегрированием по частям $ \int \limits_1 ^e x\ln x dx $ |
| Решение |
|
В данном задании имеем интеграл с пределами, а поэтому будем применять формулу для определенного интеграла. Введём обозначения $$ u = \ln x \rightarrow du = \frac{dx}{x}, \text{a за } dv = xdx \rightarrow v = \frac{x^2}{2}. $$ Осталось подставить это в формулу $$ \int \limits_1 ^e x\ln x dx = \frac{x^2}{2} \ln x \bigg |_1 ^e - \int \limits_1 ^e \frac{x^2}{2}\frac{dx}{x} = \frac{e^2}{2} - 0 - \frac{1}{2} \int \limits_1 ^e xdx = $$ $$ =\frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \frac{x^2}{2}\bigg |_1 ^e = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}(\frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2+1}{4} .$$ |
| Ответ |
|
$$ \int \limits_0 ^1 x \ln x dx = \frac{e^2+1}{4} $$ |
| Пример 4 |
| Найти интеграл с помощью интегрирования по частям $ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx $ |
| Решение |
|
По аналогии с предыдущими решенными примерами разберемся какую функцию без проблем интегрировать, какую дифференцировать. Обращаем внимание, что если продифференцировать $ (x+5) $, то произойдет автоматическое преобразования этого выражения в единицу, что нам будет "на руку". Поэтом поступаем так $$ u=x+5 \rightarrow du=dx, dv=3^x dx \rightarrow v=\frac{3^x}{ln3} .$$ Теперь все неизвестные функции стали найдены и могут быть поставлены во вторую формулу $$ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx = (x+5) \frac{3^x}{\ln 3} \bigg |_0 ^1 - \int \limits_0 ^1 \frac{3^x dx}{\ln 3} = $$ $$ = \frac{18}{\ln 3} - \frac{5}{\ln 3} - \frac{3^x}{\ln^2 3}\bigg| _0 ^1 = \frac{13}{\ln 3} - \frac{3}{\ln^2 3}+\frac{1}{\ln^2 3} = \frac{13}{\ln 3}-\frac{4}{\ln^2 3}. $$ |
| Ответ |
| $$ \int\limits_0 ^1 (x+5)3^x dx = \frac{13}{\ln 3}-\frac{4}{\ln^2 3} $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ