Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов

Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам. Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — метод, применяемый для решения определенных и неопределенных интегралов, когда одна из подынтегральных функций легко интегрируема, а другая дифференцируема. Достаточно распространенный метод нахождения интегралов как неопределенных, так и определенных. Главный признак, когда нужно использовать его - это состоящая из произведения двух функций некоторая функция, которую нельзя проинтегрировать в упор.

Формула

Для того, чтобы успешно использовать данный метод необходимо разобрать и выучить формулы.

Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле:

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле:

Примеры решений

Рассмотрим на практике примеры решений интегрирования по частям, которые часто предлагаются преподавателями на контрольных работах. Обратите внимание, что под значком интеграла стоит произведение двух функций. Это как признак того, что для решения подойдет данный метод.

Пример 1
Найти интеграл
Решение

Видим, что подынтегральная функция состоит из двух функций, одна из которых при дифференцировании моментально превращается в единицу, а другая легко интегрируется. Для решения интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим, , а

Подставляем найденные значения в первую формулу интегрирования и получаем:

Ответ

Решение задач от 20 руб/шт, от 2 часов
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб, от 4 часов
подробное написание
Пример 2
Найти интеграл
Решение

Снова применяем метод интегрирования по частям. В качестве неизвестных функций и возьмем следующие: и .

Подставим функции и в первую формулу интегрирования по частям:

Ответ

Пример 3
Вычислить интеграл
Решение

В данном задании имеем интеграл с пределами, а поэтому будем применять формулу интегрирование по частям в определенном интеграле. Обозначим:

Осталось подставить это в формулу:

Ответ

Решение задач от 20 руб/шт, от 2 часов
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб, от 4 часов
подробное написание
Пример 4
Вычислить интеграл
Решение

По аналогии с предыдущими решенными примерами разберемся какую функцию без проблем интегрировать, какую дифференцировать. Обращаем внимание, что если продифференцировать , то произойдет автоматическое преобразования этого выражения в единицу, что нам будет "на руку". Поэтом поступаем так:

Теперь все неизвестные функции стали найдены и могут быть поставлены во вторую формулу интегрирования по частям для определенного интеграла.

Ответ

В статье "Интегрирование по частям: примеры решений" было дано определение, суть метода, формулы и приведены разобранные задачи.

Нужно подробное решение своих задач?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ