Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Основные свойства неопределенного интеграла

Для нахождения различных интегралов удобно использовать основные свойства неопределенного интеграла:

  1. Вынос константы за знак интеграла: $$ \int kf(x) dx = k\int f(x) dx $$
  2. Интеграл разности/суммы функций равен разности/сумме интегралов от этих функций: $$ \int ( f(x) \pm g(x) ) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx $$
  3. Производная интеграла равна выражению, стоящему под знаком интеграла: $$ \bigg (\int f(x) dx \bigg )' = f(x) $$
  4. Интеграл от производной функции равен самой функции плюс постоянная: $$ \int F'(x) dx = F(x) + C $$
  5. Интеграл дифференциала функции равен самой функции плюс постоянная интегрирования: $$ \int df(x) dx = f(x) + C $$

Примеры решения

Пример 1
Решить $ \int 3\cos x dx $
Решение

Выносим константу по первому свойству за знак интеграла:

$$ \int 3\cos x dx = 3 \int \cos x dx = 3 \sin x + C $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \int 3\cos x dx = 3 \sin x + C $$
Пример 2
Найти $ \int (e^x + \sin x) dx $
Решение

По второму свойству интеграл суммы равен сумме интегралов:

$$ \int (e^x + \sin x) dx = \int e^x dx + \int \sin x dx = e^x - \cos x $$

Ответ
$$ \int (e^x + \sin x) dx = e^x - \cos x $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 3
Взять производную от интеграла $ \int \ln x dx $
Решение
По свойству номер 3 производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: $$ \bigg (\int \ln x dx \bigg )' = \ln x $$
Ответ
$$ \bigg (\int \ln x dx \bigg )' = \ln x $$
Пример 4
Нужно доказать, что $ \int (x^2+x)' = x^2+x+C $ 
Решение

Найдем производную подынтегральной функции:

$$ (x^2+x)' = (x^2)' + (x)' = 2x + 1 $$

Используя основные свойства неопределенного интеграла, а именно первое и второе:

$$ \int (2x+1) dx = \int 2x dx + \int 1 dx = 2 \int x dx + \int 1 dx = $$

$$ = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C = x^2 + x + C $$

Ответ
Что и требовалось доказать
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 5
Найти интеграл $ \int d(\arccos x) $
Решение

По пятому свойству неопределенного интеграла получаем, что интеграл от дифференциала функции равен самой функции плюс константа:

$$ \int d(\arccos x) = \arccos x + C $$

Ответ
$$ \int d(\arccos x) = \arccos x + C $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ