Основные свойства неопределенного интеграла
Для нахождения различных интегралов удобно использовать основные свойства неопределенного интеграла:
- Вынос константы за знак интеграла: $$ \int kf(x) dx = k\int f(x) dx $$
- Интеграл разности/суммы функций равен разности/сумме интегралов от этих функций: $$ \int ( f(x) \pm g(x) ) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx $$
- Производная интеграла равна выражению, стоящему под знаком интеграла: $$ \bigg (\int f(x) dx \bigg )' = f(x) $$
- Интеграл от производной функции равен самой функции плюс постоянная: $$ \int F'(x) dx = F(x) + C $$
- Интеграл дифференциала функции равен самой функции плюс постоянная интегрирования: $$ \int df(x) dx = f(x) + C $$
| Пример 1 |
| Решить $ \int 3\cos x dx $ |
| Решение |
|
Выносим константу по первому свойству за знак интеграла: $$ \int 3\cos x dx = 3 \int \cos x dx = 3 \sin x + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \int 3\cos x dx = 3 \sin x + C $$ |
| Пример 2 |
| Найти $ \int (e^x + \sin x) dx $ |
| Решение |
|
По второму свойству интеграл суммы равен сумме интегралов: $$ \int (e^x + \sin x) dx = \int e^x dx + \int \sin x dx = e^x - \cos x $$ |
| Ответ |
| $$ \int (e^x + \sin x) dx = e^x - \cos x $$ |
| Пример 3 |
| Взять производную от интеграла $ \int \ln x dx $ |
| Решение |
| По свойству номер 3 производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: $$ \bigg (\int \ln x dx \bigg )' = \ln x $$ |
| Ответ |
| $$ \bigg (\int \ln x dx \bigg )' = \ln x $$ |
| Пример 4 |
| Нужно доказать, что $ \int (x^2+x)' = x^2+x+C $ |
| Решение |
|
Найдем производную подынтегральной функции: $$ (x^2+x)' = (x^2)' + (x)' = 2x + 1 $$ Используя основные свойства неопределенного интеграла, а именно первое и второе: $$ \int (2x+1) dx = \int 2x dx + \int 1 dx = 2 \int x dx + \int 1 dx = $$ $$ = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C = x^2 + x + C $$ |
| Ответ |
| Что и требовалось доказать |
| Пример 5 |
| Найти интеграл $ \int d(\arccos x) $ |
| Решение |
|
По пятому свойству неопределенного интеграла получаем, что интеграл от дифференциала функции равен самой функции плюс константа: $$ \int d(\arccos x) = \arccos x + C $$ |
| Ответ |
| $$ \int d(\arccos x) = \arccos x + C $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ