Интеграл от синуса

Напрямую интеграл взять не получится, так как аргумент синуса и знака дифференциала отличаются. Выполняем подведение под дифференциал $ 2x $ и добавляем перед интегралом дробь $ \frac{1}{2} $:

$$ \int \sin 2x dx = \frac{1}{2} \int \sin 2x d(2x) = -\frac{1}{2} \cos 2x + C $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

В данном случае необходимо воспользоваться одной из тригонометрических формул. Конкретно формулой понижения степени синуса: $$ \sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2} $$

Заменяем выражение под интегралом:

$$ \int \sin^2 x dx = \int \frac{1-\cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1-\cos 2x) dx = $$

$$ = \frac{1}{2} \int 1dx - \frac{1}{2} \int \cos 2x dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\int \cos 2x d(2x) = $$

$$ = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C $$

Здесь нужно вспомнить свойство степеней и учесть: $$ \sin^3 x = \sin x \cdot \sin^2 x $$

Подставляем, полученное выражение в интеграл и заносим $ \sin x $ под знак дифференциала:

$$ \int \sin^3 x dx = \int \sin x \sin^2 x dx = - \int \sin^2 x d(\cos x) = $$

Далее используем свойство $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x $:

$$ = -\int (1-\cos^2 x) d(\cos x) = -\int d(\cos x) + \int \cos^2 x d(\cos x) = $$

$$ = - \cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C = \frac{1}{3} \cos^3 x - \cos x + C $$

$$ \int \sin^3 x dx = \frac{1}{3} \cos^3 x - \cos x + C $$

Вычисление начнем как в случае с неопределенным интегралом и в конце используем формулу Ньютона-Лейбница $ \int_a^b f(x) dx = F(x) \bigg |_a^b = F(b)-F(a) $:

$$ \int_0^\pi \sin x dx = -\cos x \bigg |_0^\pi = -\cos \pi + \cos 0 = -(-1) + 1 = 1+1=2 $$