Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов

Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам. Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть есть непрерывная функция на отрезке , а первообразная её . Тогда имеет место равенство, которое есть формула Ньютона-Лейбница:

В этой формуле и называются пределами интегрирования. Нижний - , верхний - . Функция - это подынтегральное выражение. А её первообразная обозначается , то есть такая функция, что . А сам интеграл называется определенным, так как есть пределы интегрирования.

Формула Ньютона-Лейбница используется только для определенного интеграла и заключает его связь с неопределенным интегралом.

Сначала находим первообразную любыми известными методами решение неопределенных интегралов, а затем находим её разность в точках и .

Стоит обратить внимание на порядок вычитания: из вычитается . Иначе нужно поменять знак полученного ответа на противоположный.

Примеры решений

Пример 1
Вычислить интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
Решение

Первым делом проверяем, что подынтегральная функция является непрерывной на отрезке . Если всё нормально, то приступаем ко второму шагу, а именно нахождение первообразной . Для этого достаточно убрать пределы интегрирования и решить его любым методом.

В нашем случае нужно применить метод непосредственного интегрирования. По таблице интегрирования находим, что .

Положим и получаем одну из первообразных: . Теперь зная можно использовать формулу Ньютона-Лейбница для вычисления окончательного результата. Подставляем и в поочередно, а затем ищем разность:

В результате мы получили, что:

Ответ
Пример 2

Вычислить определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница:

Решение

Для нахождения этого определенного интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям:

Обратите внимание на то, что при вычислении мы использовали формулу Ньютона-Лейбница. Теперь дорешиваем второй интеграл опять же с учетом этой же формулы и записываем ответ:

Ответ

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ