Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть есть непрерывная функция $ f(x) $ на отрезке $ [a,b] $, а первообразная её $ F(x) $. Тогда имеет место равенство, которое есть формула Ньютона-Лейбница:

$$ \int _a^b f(x) dx = F(x)\bigg |_a^b = F(b) - F(a) $$

В этой формуле $ a $ и $ b $ называются пределами интегрирования. Нижний - $ a $, верхний - $ b $. Функция $ f(x) $ - это подынтегральное выражение. А её первообразная обозначается $ F(x) $, то есть такая функция, что $ F'(x) = f(x) $. А сам интеграл называется определенным, так как есть пределы интегрирования.

Формула Ньютона-Лейбница используется только для определенного интеграла и заключает его связь с неопределенным интегралом.

Сначала находим первообразную $ F(x) $ любыми известными методами решение неопределенных интегралов, а затем находим её разность в точках $ a $ и $ b $.

Стоит обратить внимание на порядок вычитания: из $ F(b) $ вычитается $ F(b) $. Иначе нужно поменять знак полученного ответа на противоположный.

Примеры решений

Пример 1
Вычислить интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: $$ \int_1^2 x^3 dx $$
Решение

Первым делом проверяем, что подынтегральная функция $ f(x)=x^3 $ является непрерывной на отрезке $ x\in [a;b] $. Если всё нормально, то приступаем ко второму шагу, а именно нахождение первообразной $ F(x) $. Для этого достаточно убрать пределы интегрирования и решить его любым методом.

В нашем случае нужно применить метод непосредственного интегрирования. По таблице интегрирования находим, что $ \int x^p dx = \frac{x^{p+1}}{p+1} $.

$$ F(x) = \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} dx = \frac{x^4}{4} + C $$

Положим $ C = 0 $ и получаем одну из первообразных: $ F(x) = \frac{x^4}{4} $. Теперь зная $ F(x) $ можно использовать формулу Ньютона-Лейбница для вычисления окончательного результата. Подставляем $ a $ и $ b $ в $ F(x) $ поочередно, а затем ищем разность:

$$ F(a) = F(1) = \frac{1}{4} $$

$$ F(b) = F(2) = \frac{16}{4} = 4 $$

$$ F(b) - F(a) = F(2) - F(1) = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} $$

В результате мы получили, что: $$ \int_1^2 x^3 dx = F(2) - F(1) = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \int_1^2 x^3 dx = \frac{15}{4} $$
Пример 2

Вычислить определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница:

$$ \int_0^\pi x\sin x dx $$

Решение

Для нахождения этого определенного интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям:

$$ \int_0^\pi x\sin x dx = \begin{vmatrix} u = x & du = dx \\ dv = \sin x dx & v = -\cos x \end{vmatrix} = $$

$$ = -x\cos x \bigg |_0^\pi - \int_0^\pi (-\cos x)dx = - (\pi\cdot \cos \pi - 0\cdot \cos 0) + \int_0^\pi \cos x dx = $$

$$ = -(\pi \cdot (-1) - 0\cdot 1) + \int_0^\pi \cos x dx = \pi + \int_0^\pi \cos x dx = $$

Обратите внимание на то, что при вычислении $ uv $ мы использовали формулу Ньютона-Лейбница. Теперь дорешиваем второй интеграл опять же с учетом этой же формулы и записываем ответ:

$$ = \pi +\sin x \bigg |_0^\pi=\pi + (\sin \pi - \sin 0)=\pi + (0 - 0)=\pi $$

Ответ
$$ \int_0^\pi x\sin x dx = \pi $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ