Интеграл косинуса
Интеграл косинуса по таблице интегрирования основных элементарных функций равен:
$$ \int \cos x dx = \sin x + C $$
Словами это запомнить легче и звучит так: интеграл косинуса равен сумме синуса и константы. Выполним разбор частных примеров.
| Пример 1 |
|
Найти интеграл от косинуса 2х: $$ \int \cos 2x dx $$ |
| Решение |
|
2х под косинусом называется двойным углом. Из-за того, что аргумент косинуса равен $ 2x $, то нельзя сразу применить формулу. Нужно чтобы $ 2x $ находилось и под знаком дифференциала. Выполним подведение $ 2x $ под дифференциал: $$ \frac{1}{2}\int \cos 2x d(2x) = \frac{1}{2}\sin 2x + C $$ Перед интегралом появилась дробь $ \frac{1}{2} $, так как $ d(2x) = 2 dx $ и нам необходимо уничтожить лишнюю двойку. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \int \cos 2x dx = \sin 2x + C $$ |
| Пример 2 |
| Найти интеграл от произведения синуса и косинуса: $$ \int \sin x \cos x dx $$ |
| Решение |
|
Данный интеграл можно взять двумя методами: подведением $ \sin x $ под знак дифференциала $ \cos x dx = d(\sin x) $ или заменой $ t = \sin x, dt = \cos x dx $ Проще будет решить внесением под дифференциал. Получаем: $$ \int \sin x \cos x dx = \int \sin x d(\sin x) = \frac{\sin^2 x}{2} + C $$ |
| Ответ |
| $$ \int \sin x \cos x dx = \frac{\sin^2 x}{2} + C $$ |
| Пример 3 |
| Вычислить интеграл косинуса от 0 до пи: $$ \int_0^\pi \cos x dx $$ |
| Решение |
|
Выражение стоящее под знаком интеграла полностью готово к непосредственному интегрированию. Но стоит заметить, что интеграл определенный, а это значит нужно воспользоваться дополнительно формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - это первообразная функции. $$ \int_0^\pi \cos x dx = \sin x \bigg |_0^\pi = \sin\pi - \sin 0 = -1 - 0 = -1 $$ |
| Ответ |
| $$ \int_0^\pi \cos x dx = -1 $$ |
| Пример 4 |
| Найти интеграл от косинуса в квадрате: $$ \int \cos^2 x dx $$ |
| Решение |
|
Непосредственно взять интеграл не получится, так как косинус в квадрате не является табличной функцией, поэтому воспользуемся еще одной формулой понижения степени: $$ \cos^2 x = \frac{1+ \cos 2x}{2} $$ Подставляем правую часть формулы в интеграл: $$ \int \cos^2 x dx = \int \frac{1+\cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1+\cos 2x) dx = $$ $$ = \frac{1}{2}\int 1dx + \frac{1}{2} \int \cos 2x dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + C $$ |
| Ответ |
| $$ \int \cos^2 x dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + C $$ |