Интеграл от натурального логарифма
Интеграл натурального логарифма выводится из формулы интегрирования по частям и равен:
$$ \int \ln x dx = x\ln x - x + C $$
| Пример 1 |
| Найти интеграл от натурального логарифма икс: $$ \int \ln x dx $$ |
| Решение |
|
Для взятия этого интеграла используем формулу интегрирования по частям: $ \int udv = uv - vdu $: $$ \int \ln x dx = \begin{vmatrix} u = \ln x & du = \frac{dx}{x} \\ dv = dx & v = x \end{vmatrix} = $$ $$ = x\ln x - \int dx = x\ln x - x + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \int \ln x dx = x\ln x - x + C $$ |
| Пример 2 |
| Взять интеграл от натурального логарифма в квадрате: $$ \int \ln^2 x dx $$ |
| Решение |
|
Используем интегрирование по частям: $$ \int \ln^2 x dx = \begin{vmatrix} u = \ln^2 x & du = 2\ln x \cdot \frac{dx}{x} \\ dv = dx & v = x \end{vmatrix} = $$ $$ = x\ln^2 x - \int 2\ln x dx = x\ln^2 x - 2\int \ln x dx = $$ Снова используем формулу интегрирования по частям: $$ = x\ln^2 x - 2\begin{vmatrix} u = \ln x & du = \frac{dx}{x} \\ dv = dx & v = x \end{vmatrix} = $$ $$ = x\ln^2 x - 2(x\ln x - \int dx) = x\ln^2 x - 2x\ln x + 2\int dx = $$ $$ = x\ln^2 x - 2x\ln x + 2x + C $$ |
| Ответ |
| $$ \int \ln^2 x dx = x\ln^2 x - 2x\ln x + 2x + C $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ