Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Интеграл от натурального логарифма

Интеграл натурального логарифма выводится из формулы интегрирования по частям и равен:

$$ \int \ln x dx = x\ln x - x + C $$

Пример 1
Найти интеграл от натурального логарифма икс: $$ \int \ln x dx $$
Решение

Для взятия этого интеграла используем формулу интегрирования по частям: $ \int udv = uv - vdu $:

$$ \int \ln x dx = \begin{vmatrix} u = \ln x & du = \frac{dx}{x} \\ dv = dx & v = x \end{vmatrix} = $$

$$ = x\ln x - \int dx = x\ln x - x + C $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \int \ln x dx = x\ln x - x + C $$
Пример 2
Взять интеграл от натурального логарифма в квадрате: $$ \int \ln^2 x dx $$
Решение

Используем интегрирование по частям:

$$ \int \ln^2 x dx = \begin{vmatrix} u = \ln^2 x & du = 2\ln x \cdot \frac{dx}{x} \\ dv = dx & v = x \end{vmatrix} = $$

$$ = x\ln^2 x - \int 2\ln x dx = x\ln^2 x - 2\int \ln x dx = $$

Снова используем формулу интегрирования по частям:

$$ = x\ln^2 x - 2\begin{vmatrix} u = \ln x & du = \frac{dx}{x} \\ dv = dx & v = x \end{vmatrix} = $$

$$ = x\ln^2 x - 2(x\ln x - \int dx) = x\ln^2 x - 2x\ln x + 2\int dx = $$

$$ = x\ln^2 x - 2x\ln x + 2x + C $$

Ответ
$$ \int \ln^2 x dx = x\ln^2 x - 2x\ln x + 2x + C $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ