Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Возведение в степень комплексного числа

Формула

Возводить в степень комплексные числа легко в показательной или тригонометрической форме. Если комплексное число в алгебраической форме, то необходимо его перевести в любую из вышеперечисленных форм.

Формула возведения в степень комплексного числа в показательной форме:

$$ z^k = (re^{i\varphi})^k = r^k e^{ik\varphi}, k \in Z $$

Формула возведения в степень комплексного числа в тригонометрической форме:

$$ z^k = r^k (\cos k\varphi + i\sin k\varphi), k \in N $$

Примеры решений

Пример 1
Возвести в квадрат комплексное число $$ z = \sqrt{2}e^{\frac{\pi}{2}i} $$
Решение

Используя формулу возводим в квадрат модуль и экспоненту:

$$ z^2 = (\sqrt{2}e^{\frac{\pi}{2}i})^2 = (\sqrt{2})^2 (e^{\frac{\pi}{2}i})^2 = $$

$$ 2e^{2\frac{\pi}{2}i} = 2e^{\pi i} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ z^2 = 2e^{\pi i} $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2

Возвести в третью степень комплексное число, записанное в алгебраической форме:

$$ z = 1+\sqrt{3}i $$

Решение

Так как комплексное число представлено в алгебраической форме, а выполнять возведение в степень комплексного числа удобно в тригонометрической форме, то сначала выполним перевод из алгебраической формы в тригонометрическую.

Найдем модуль:

$$ |z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2 $$

Узнаем аргумент:

$$ \varphi = arctg \frac{b}{a} = arctg \frac{\sqrt{3}}{1} = arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} $$

Записываем число в тригонометрической форме:

$$ z = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}) $$

Находим третью степень числа:

$$ z^3 = 2^3(\cos (3 \cdot \frac{\pi}{3})+i\sin (3 \cdot \frac{\pi}{3})) = 8 (\cos \pi + i\sin \pi) $$

Приводим назад к алгебраической форме:

$$ z^3 = 8 (-1 + i \cdot 0) = 8 \cdot (-1+0) = -8 $$

Ответ

$$ z^3 = -8 $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ