Возведение комплексного числа в степень
Возвести в степень комплексное число досточно легко в показательной или тригонометрической форме. Если комплексное число в алгебраической форме, то необходимо его перевести в любую из вышеперечисленных форм.
Формула возведения в степень комплексного числа в показательной форме:
$$ z^k = (re^{i\varphi})^k = r^k e^{ik\varphi}, k \in Z $$
Формула возведения в степень комплексного числа в тригонометрической форме:
$$ z^k = r^k (\cos k\varphi + i\sin k\varphi), k \in N $$
| Пример 1 |
| Возвести комплексное число в квадрат $$ z = \sqrt{2}e^{\frac{\pi}{2}i} $$ |
| Решение |
|
Используя первую формулу возводим в квадрат модуль и экспоненту: $$ z^2 = (\sqrt{2}e^{\frac{\pi}{2}i})^2 = (\sqrt{2})^2 (e^{\frac{\pi}{2}i})^2 = $$ $$ 2e^{2\frac{\pi}{2}i} = 2e^{\pi i} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ z^2 = 2e^{\pi i} $$ |
| Пример 2 |
|
Возвести комплексное число в третью степень: $$ z = 1+\sqrt{3}i $$ |
| Решение |
|
Так как комплексное число представлено в алгебраической форме, а выполнять возведение в степень удобно в тригонометрической форме, то сначала выполним перевод из алгебраической формы в тригонометрическую. Найдем модуль: $$ |z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2 $$ Узнаем аргумент: $$ \varphi = arctg \frac{b}{a} = arctg \frac{\sqrt{3}}{1} = arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} $$ Записываем число в тригонометрической форме: $$ z = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}) $$ Находим третью степень числа: $$ z^3 = 2^3(\cos (3 \cdot \frac{\pi}{3})+i\sin (3 \cdot \frac{\pi}{3})) = 8 (\cos \pi + i\sin \pi) $$ Приводим назад к алгебраической форме: $$ z^3 = 8 (-1 + i \cdot 0) = 8 \cdot (-1+0) = -8 $$ |
| Ответ |
|
$$ z^3 = -8 $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ