Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Комплексные числа

В математике кроме натуральных, рациональных и вещественных чисел имеется ещё один вид, называемый комплексными числами. Такое множество принято обозначать символом $ \mathbb{C} $.

Рассмотрим, что из себя представляет комплексное число. Запишем его таким образом: $ z = a + ib $, в котором мнимая единица $ i = \sqrt{-1} $, числа $ a,b \in \mathbb{R} $ вещественные. 

Если положить $ b = 0 $, то комплексное число превращается в вещественное. Таким образом, можно сделать вывод, что действительные числа это частный случай комплексных и записать это в виде подмножества $ \mathbb{R} \subset \mathbb{C} $. К слову говоря также возможно, что $ a = 0 $.

Принято записывать мнимую часть комплексного числа как $ Im(z) = b $, а действительную $ Re(z) = a $.

Введем понятие комплексно-сопряженных чисел. К каждому комплексному числу $ z = a+ib $ существует такое, что $ \overline{z} = a-ib $, которое и называется сопряженным. Такие числа отличаются друг от друга только знаками между действительной и мнимой частью.

Формы

Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:

  1. Алгебраическая $ z = a+ib $
  2. Показательная $ z = |z|e^{i\varphi} $
  3. Тригонометрическая $ z = |z|\cdot(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)) $

Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.

Изображение

Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:

комплексные числаВидим, что $ a,b \in \mathbb{R} $ расположены на соответствующих осях плоскости. 

Комплексное число $ z = a+ib $ представляется в виде вектора $ \overline{z} $.

Аргумент обозначается $ \varphi $.

Модуль $ |z| $ равняется длине вектора  $ \overline{z} $ и находится по формуле $ |z| = \sqrt{a^2+b^2} $

Аргумент комплексного числа $ \varphi $ нужно находить по различным формулам в зависимости от полуплоскости, в которой лежит само число.

Если:

  1. $ a>0 $, то $ \varphi = arctg\frac{b}{a} $
  2. $ a<0, b>0 $, то $ \varphi = \pi + arctg\frac{b}{a} $
  3. $ a<0, b<0 $, то $ \varphi = -\pi + arctg\frac{b}{a} $

Операции

Над комплексными числами можно проводить различные операции, а именно:

  • Складывать и вычитать
  • Умножать и делить
  • Извлекать корни и возводить в степень
  • Переводить из одной формы в другую 

Для нахождения суммы и разности складывается и вычитаются только соответствующие друг другу члены. Мнимая часть только с мнимой, а действительная только с действительной:

$$ z_1 + z_2 = (a_1+ib_1) + (a_2+ib_2) = (a_1 + a_2)+i(b_1 + b_2) $$

$$ z_1 - z_2 = (a_1+ib_1) - (a_2+ib_2) = (a_1 - a_2)+i(b_1 - b_2) $$

Умножение в алгебраической форме:

$$ z_1 \cdot z_2 = (a_1+ib_1) \cdot (a_2+ib_2) = (a_1 a_2 - b_1 b_2)+i(a_1 b_2 + a_2 b_1) $$

Умножение в показательной форме:

$$ z_1 \cdot z_2 = |z_1|e^{i\varphi_1} \cdot |z_2|e^{i\varphi_2} = |z_1|\cdot|z_2|\cdot e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)} $$

Деление в алгебраической форме:

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1+ib_1}{a_2+ib_2} = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 }{a_2 ^2 + b_2 ^2} + i \frac{a_2 b_1 + a_1 b_2}{a_2 ^2 + b_2 ^2} $$

Деление в показательной форме:

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{|z_1|e^{i\varphi_1}}{|z_2|e^{i\varphi_2}} = \frac{|z_1|}{|z_2|}e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)} $$

Для возведения в степень необходимо умножить комплексное число само на себя необходимое количество раз, либо воспользоваться формулой Муавра:

$$ z^n = |z|^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi) $$

Для извлечения корней необходимо также воспользоваться формулой Муавра:

$$ z^\frac{1}{n} = |z|^\frac{1}{n}\bigg(\cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n}+i\sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n}\bigg), k=0,1,...,n-1 $$

Так же теория комплексных чисел помогает находить корни многочленов. Например, в квадратном уравнении, если $ D<0 $, то вещественных корней нет, но есть комплексные. В последнем примере рассмотрен данный случай.

Рассмотрим на практике комплексные числа: примеры с решением.

Примеры с решением

Пример 1
Перевести из алгебраической в тригонометрическую и показательную форму:$$ z = 4-4i $$
Решение

Для начала приступим к нахождению модуля комплексного числа:

$$ |z| = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} $$

Осталось найти аргумент:

$$ \varphi = arctg \frac{b}{a} = arctg \frac{-4}{4} = arctg (-1) = -\frac{\pi}{4} $$

Теперь составляем тригонометрическую запись комплексного числа, указанного в условии примера:

$$ z = 4\sqrt{2}\bigg(\sin(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}) \bigg) $$

Тут же можно записать показательную форму:

$$ z = 4\sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{4}i} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ z = 4\sqrt{2}\bigg(\sin(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}) \bigg) $$

$$ z = 4\sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{4}i} $$

Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2

Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:

$$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$

Решение

Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:

$$ z_1 + z_2 = (3+i) + (5-2i) = (3+5)+(i-2i) = 8 - i $$

Аналогично выполним вычитание чисел:

$$ z_1 - z_2 = (3+i) - (5-2i) = (3-5)+(i+2i) = -2 + 3i $$

Ответ
$$ z_1 + z_2 = 8 - i; z_1 - z_2 = -2 + 3i $$
Пример 3

Выполнить умножение и деление комплексных чисел:

$$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$

Решение

$$ z_1 \cdot z_2 = (3+i) \cdot (5-2i) = $$

Просто на просто раскроем скобки и произведем приведение подобных слагаемых, так же учтем, что $ i^2 = -1 $:

$$ = 15 - 6i + 5i -2i^2 = 15 - i - 2\cdot(-1) = $$

$$ = 15 - i + 2 = 17 - i $$

Так, теперь разделим первое число на второе:

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3+i}{5-2i} = $$

Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:

$$ = \frac{(3+i)(5+2i)}{(5-2i)(5+2i)} = \frac{15 + 6i + 5i + 2i^2}{25 + 10i - 10i -4i^2} = $$

$$ = \frac{15 + 11i -2}{25 + 4} = \frac{13 + 11i}{29} $$

Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{13}{29} + \frac{11}{29}i $$

Ответ
$$ z_1 \cdot z_2 = 17 - i; \frac{z_1}{z_2} = \frac{13}{29} + \frac{11}{29}i $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 4
Возвести комплексное число $ z = 3+3i $ в степень: a) $ n=2 $ б) $ n=7 $
Решение

1) $ n = 2 $

Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:

$$ z^2 = (3+3i)^2 = (3+3i)\cdot (3+3i) = $$

Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:

$$ =9 + 9i + 3i\cdot 3 + 9i^2 = 9 + 18i - 9 = 18i $$

Получили ответ, что $$ z^2 = (3+i)^2 = 18i $$

2) $ n = 7 $

В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.

Вычисляем значение модуля:

$$ |z| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $$

Найдем чем равен аргумент:

$$ \varphi = arctg \frac{3}{3} = arctg(1) = \frac{\pi}{4} $$

Записываем в тригонометрическом виде:

$$ z = 3\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}) $$

Возводим в степень $ n = 7 $:

$$ z^7 = (3\sqrt{2})^7 (\cos \frac{7\pi}{4} + i\sin \frac{7\pi}{4}) = $$

Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:

$$ =(3\sqrt{2})^7 (\frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}}) = $$

$$ = 3^7 \sqrt{2}^7 (\frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}}) = $$

$$ = 3^7 \sqrt{2}^6 (1-i) = 3^7 \cdot 8(1-i) = $$

$$ = 2187 \cdot 8 (1-i) = 17496(1-i) $$

Ответ

$$ z^2 = (3+i)^2 = 18i $$ $$ z^7 = 17496(1-i) $$

Пример 5
Извлечь корень $ \sqrt[3]{-1} $ над множеством $ \mathbb{C} $
Решение

Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:

$$ |z| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1+0} = \sqrt{1}=1 $$

$$ \varphi = arctg \frac{0}{-1} +\pi = arctg 0 + \pi = \pi $$

Получаем: $$ z = (\cos \pi + i\sin \pi) $$

Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:

$$ z^\frac{1}{n} = r^\frac{1}{n}\bigg(\cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n}+i\sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n}\bigg), k=0,1,...,n-1 $$

Так как степень $ n = 3 $, то по формуле $ k = 0,1,2 $:

$$ z_0 = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ z_1 = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{3\pi}{3}+i\sin \frac{3\pi}{3}) = -1 $$

$$ z_2 = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} $$

Ответ

$$ z_0 = \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ z_1 = -1 $$

$$ z_2 = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} $$

Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 6
Решить квадратное уравнение $ x^2 + 2x + 2 = 0 $ над $ \mathbb{C} $
Решение

Решать будем по общей формуле, которую все выучили в 8 классе. Находим дискриминант $$ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4\cdot 1 \cdot 2 = 4-8 = -4 $$

Получили, что $ D=-4<0 $ и казалось бы, что решение можно заканчивать. Но нет! В нашем задании требуется решить уравнение над комплексным множеством, а то что дискриминант отрицательный означает только лишь отсутствие вещественных корней. А комплексные корни есть! Найдем их продолжив решение:

$$ x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2\pm \sqrt{-4}}{2} = $$

Заметим, что $ \sqrt{-4} = 2\sqrt{-1} = 2i $ и продолжим вычисление:

$$ = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i $$

Получили комплексно-сопряженные корни:

$$ x_1 = -1 - i; x_2 = -1 - i $$

Как видите любой многочлен можно решить благодаря комплексным числам.

Ответ
$$ x_1 = -1 - i; x_2 = -1 - i $$

В статье "Комплексные числа: примеры с решением" было дано определение, основные понятия, формы записи, алгебраические операции и решение практических примеров.

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ