Сумма, разность, произведение и частное комплексных чисел

Пусть даны два комплексных числа в алгебраической форме $z_1 = a + bi, z_2 = c + di$, тригонометрической форме $z_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1), z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i\sin \varphi_2)$ и показательной форме $z_1 = r_1 e^{\varphi_1 i} , z_2 = r_2 e^{\varphi_2 i}$.

Формула суммы и разности

В алгебраической форме $$z_1 + z_2 = (a+bi) + (c+di) = (a + c) + (b + d)i$$ $$z_1 - z_2 = (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b - d)i $$в тригонометрической и показательной форме тоже можно выполнять сложение и вычитание, но удобнее это делать в алгебраической.

Формула произведения

В алгебраической форме $$z_1 \cdot z_2 = (a+bi) \cdot (c+di) = (ac - bd) + i(ad + bc),$$ в тригонометрической форме $$z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 (\cos (\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin (\varphi_1 + \varphi_2)),$$в показательной форме $$z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 e^{(\varphi_1+\varphi_2)i}.$$

Формула деления

В алгебраической форме $$\frac{z_1}{z_2} =\frac{z_1 \overline{z_2}}{z_2 \overline{z_2}} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i, $$в тригонометрической форме $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\varphi_1 - \varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2)),$$в показательной форме $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{(\varphi_1 - \varphi_2)i}.$$

ОНЛАЙН КАЛЬКУЛЯТОР

Введите первое комплексное число

Введите второе комплексное число

Пример Правила ввода

Пример 1
Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел $$z_1 = 1+2i, z_2 = -2+i.$$
Решение
Сначала находим сумму. Для этого раскрываем скобки и проводим вычисления с подобными $$z_1 + z_2 = (1+2i) + (-2+i) = 1+2i - 2 + i = (1-2) + (2i+i) = -1 + 3i.$$ Тоже самое делаем для того, чтобы найти разность. Раскрываем скобки и вычисляем $$z_1 - z_2 = (1+2i) - (-2+i) = 1+2i + 2 - i = 3 + i.$$ Теперь найдем произведение чисел. Раскрываем скобки попарно перемножая слагаемые в скобках. Но не забываем, что $i = \sqrt{-1}$, а это значит, что $i^2 = -1$, получаем $$z_1 \cdot z_2 = (1+2i)\cdot (-2+i) = -2 + i - 4i + 2i^2 = $$ $$ = -2 - 3i - 2 = -4-3i.$$ Выполним деление комплексных чисел. Здесь необходимо числитель и знаменатель домножить на комплексно-сопряженное число к знаменателю, чтобы избавиться от дроби $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{1+2i}{-2+i} = \frac{(1+2i)(-2-i)}{(-2+i)(-2-i)} = $$ В числителе и знаменателе раскрываем скобки, то есть выполняем умножение комплексных чисел по соответствующей формуле. И не забываем про то, что $i^2 = -1$ $$ = \frac{-2-i-4i-2i^2}{4+2i-2i-i^2} = \frac{-2-5i+2}{4+1} = \frac{-5i}{5} = -i.$$
Ответ
$$z_1 + z_2 = -1+3i, z_1 - z_2 = 3+i, z_1 \cdot z_2 = -4-3i, \frac{z_1}{z_2} = -i$$

Решение задач от 30 руб подробное написание Контрольные работы от 200 руб подробное написание

Пример 2
Найти произведение и частное комплексных чисел $z_1 = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3})$ и $z_2 = 4(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6})$
Решение
Начнем с умножения двух чисел. Вычисляем произведение модулей и складываем аргументы синуса и косинуса $$z_1 \cdot z_2 = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}) \cdot 4(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}) = $$ $$ = 8 (\cos (\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) + i\sin (\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6})) = 8(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2}).$$ Деление выполняется наоборот. Ищем частное модулей и разность аргументов $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2}{4} (\cos (\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) +i\sin (\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} (\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}).$$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$z_1 \cdot z_2 = 8(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2}), \frac{z_1}{z_2} = \frac{1}{2} (\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6})$$

Пример 3
Найдите произведение и частное комплексных чисел $ z_1 = 6e^{\frac{\pi}{2}i} $ и $ z_2 = 2e^{\frac{\pi}{4}i} $
Решение
Для умножения двух комплексных чисел необходимо перемножить их аргументы и сложить показатели степеней $$z_1 \cdot z_2 = 6e^{\frac{\pi}{2}i} \cdot 2e^{\frac{\pi}{4}i} = 12e^{(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4})i} = 12e^{\frac{3\pi}{4}i}.$$ Для деления нужно найти частное аргументов двух комплексных чисел и вычислить разницу показателей степеней $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{6e^{\frac{\pi}{2}i}} {2e^{\frac{\pi}{4}i}} = \frac{6}{2} e^{(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4})i} = 3e^{\frac{\pi}{4}i}.$$
Ответ
$$z_1 \cdot z_2 = 12e^{\frac{3\pi}{4}i}, \frac{z_1}{z_2} = 3e^{\frac{\pi}{4}i}$$