Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел можно производить в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Для каждой из них существует своя формула.

Формула

Формула деления в алгебраической форме

Чтобы разделить в алгебраической форме нужно числитель и знаменатель умножить на число, сопряженное к знаменателю. Тем самым избавляемся от комплексности в знаменателе:

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1 i}{a_2 + b_2 i} = \frac{(a_1+b_1 i)(a_2-b_2i)}{(a_2+b_2i)(a_2-b_2i)} = \frac{a_1 \cdot a_2 + b_1 \cdot b_2}{a_2 ^2 + b_2 ^2} + i\frac{a_2 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_2}{a_2 ^2 + b_2 ^2} $$

Формула деления в тригонометрической форме

В этой форме необходимо разделить модули комплексных чисел и найти разность аргументов:

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos (\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin (\varphi_1 - \varphi_2)) $$

Формула деления в показательной форме

В данной форме делятся модули и в экспоненте вычисляется разность аргументов:

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{(\varphi_1 - \varphi_2)i} $$

Примеры решений 

Пример 1
Разделить два комплексных числа: $ z_1 = 3+i $ и $ z_2 = 2-3i $
Решение

Так как числа заданы в алгебраической форме, то и нужно применить соответствующую формулу.

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3+i}{2-3i} = $$

Сопряженным комплексным числом к знаменателю будет $ \overline{z_2} = 2+3i $. Домножим и разделим на него дробь, чтобы избавиться от комплексности в знаменателе:

$$ = \frac{(3+i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)} = \frac{6 + 9i + 2i - 3}{4 + 6i - 6i + 9} = $$

Приводим подобные слагаемые:

$$ = \frac{3 + 11i}{13} = \frac{3}{13} + \frac{11}{13}i $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{13} + \frac{11}{13}i $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2
Найти частное комплексных чисел: $ z_1 = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{6}) $ и $ z_2 = 4(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}) $
Решение

Так как требуется выполнить деление комплексных чисел в тригонометрической форме, то пользуемся соответствующей формулой. В ней нужно найти деление модулей и разность аргументов.

Деление модулей:

$$ \frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$

Разность аргументов:

$$ \varphi_1 - \varphi_2 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} $$

Выполняем деление чисел:

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{1}{6} (\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6} ) $$

Ответ
$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{1}{6} (\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6} ) $$
Пример 3
Выполнить деление комплексных чисел: $ z_1 = 3e^{\frac{\pi}{2}i} $ и $ z_2 = 4e^{\frac{\pi}{4}i} $
Решение

По формуле деления в показательной форме находим разность аргументов и частное модулей:

$$ \frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{4} $$ $$ \varphi_1 - \varphi_2 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} $$

Подставляем в формулу и получаем:

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{4} e^{\frac{\pi}{4}i} $$

Ответ
$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{4} e^{\frac{\pi}{4}i} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ