Деление комплексных чисел
Деление комплексных чисел можно производить в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Для каждой из них существует своя формула.
Формула
| Формула деления в алгебраической форме |
|
Чтобы разделить в алгебраической форме нужно числитель и знаменатель умножить на число, сопряженное к знаменателю. Тем самым избавляемся от комплексности в знаменателе: $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1 i}{a_2 + b_2 i} = \frac{(a_1+b_1 i)(a_2-b_2i)}{(a_2+b_2i)(a_2-b_2i)} = \frac{a_1 \cdot a_2 + b_1 \cdot b_2}{a_2 ^2 + b_2 ^2} + i\frac{a_2 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_2}{a_2 ^2 + b_2 ^2} $$ |
| Формула деления в тригонометрической форме |
|
В этой форме необходимо разделить модули комплексных чисел и найти разность аргументов: $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos (\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin (\varphi_1 - \varphi_2)) $$ |
| Формула деления в показательной форме |
|
В данной форме делятся модули и в экспоненте вычисляется разность аргументов: $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{(\varphi_1 - \varphi_2)i} $$ |
Примеры решений
| Пример 1 |
| Разделить два комплексных числа: $ z_1 = 3+i $ и $ z_2 = 2-3i $ |
| Решение |
|
Так как числа заданы в алгебраической форме, то и нужно применить соответствующую формулу. $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3+i}{2-3i} = $$ Сопряженным комплексным числом к знаменателю будет $ \overline{z_2} = 2+3i $. Домножим и разделим на него дробь, чтобы избавиться от комплексности в знаменателе: $$ = \frac{(3+i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)} = \frac{6 + 9i + 2i - 3}{4 + 6i - 6i + 9} = $$ Приводим подобные слагаемые: $$ = \frac{3 + 11i}{13} = \frac{3}{13} + \frac{11}{13}i $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{13} + \frac{11}{13}i $$ |
| Пример 2 |
| Найти частное комплексных чисел: $ z_1 = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{6}) $ и $ z_2 = 4(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}) $ |
| Решение |
|
Так как требуется выполнить деление комплексных чисел в тригонометрической форме, то пользуемся соответствующей формулой. В ней нужно найти деление модулей и разность аргументов. Деление модулей: $$ \frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ Разность аргументов: $$ \varphi_1 - \varphi_2 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} $$ Выполняем деление чисел: $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{1}{6} (\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6} ) $$ |
| Ответ |
| $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{1}{6} (\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6} ) $$ |
| Пример 3 |
| Выполнить деление комплексных чисел: $ z_1 = 3e^{\frac{\pi}{2}i} $ и $ z_2 = 4e^{\frac{\pi}{4}i} $ |
| Решение |
|
По формуле деления в показательной форме находим разность аргументов и частное модулей: $$ \frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{4} $$ $$ \varphi_1 - \varphi_2 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} $$ Подставляем в формулу и получаем: $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{4} e^{\frac{\pi}{4}i} $$ |
| Ответ |
| $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{4} e^{\frac{\pi}{4}i} $$ |