Извлечение корня из комплексного числа
Формула Муавра для извлечения корня из комплексного числа имеет вид:
$$ z^\frac{1}{n} = |z|^\frac{1}{n} \bigg(\cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n} \bigg), k = 0,1,2,...,n-1 $$
| Пример 1 |
| Найти все значения корня из комплексного числа $ \sqrt[3]{-1} $ над множеством $ \mathbb{C} $ |
| Решение |
|
Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент: $$ |z| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1+0} = \sqrt{1}=1 $$ $$ \varphi = arctg \frac{0}{-1} +\pi = arctg 0 + \pi = \pi $$ Получаем: $$ z = (\cos \pi + i\sin \pi) $$ Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени: $$ z^\frac{1}{n} = r^\frac{1}{n}\bigg(\cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n}+i\sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n}\bigg), k=0,1,...,n-1 $$ Так как степень $ n = 3 $, то по формуле $ k = 0,1,2 $: $$ z_0 = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ z_1 = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{3\pi}{3}+i\sin \frac{3\pi}{3}) = -1 $$ $$ z_2 = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
|
$$ z_0 = \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ z_1 = -1 $$ $$ z_2 = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ