Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Извлечение корня из комплексного числа

Формула Муавра

Формула Муавра для извлечения корня из комплексного числа имеет вид:

$$ z^\frac{1}{n} = |z|^\frac{1}{n} \bigg(\cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n} \bigg), k = 0,1,2,...,n-1 $$

Примеры решений

Пример 1
Извлечь корень $ \sqrt[3]{-1} $ над множеством $ \mathbb{C} $
Решение

Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:

$$ |z| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1+0} = \sqrt{1}=1 $$

$$ \varphi = arctg \frac{0}{-1} +\pi = arctg 0 + \pi = \pi $$

Получаем: $$ z = (\cos \pi + i\sin \pi) $$

Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:

$$ z^\frac{1}{n} = r^\frac{1}{n}\bigg(\cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n}+i\sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n}\bigg), k=0,1,...,n-1 $$

Так как степень $ n = 3 $, то по формуле $ k = 0,1,2 $:

$$ z_0 = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ z_1 = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{3\pi}{3}+i\sin \frac{3\pi}{3}) = -1 $$

$$ z_2 = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ z_0 = \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ z_1 = -1 $$

$$ z_2 = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ