Модуль комплексного числа
Пусть задано комплексное число $ z = a+bi $, в котором действительная часть $ Re z = a $ и мнимая $ Im z = b $. Число $ i = \sqrt{-1} $ мнимая единица.
Формула
| Определение |
| Модуль комплексного числа равен корню квадратному из суммы квадратов мнимой и действительной части и находится по формуле: $$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $$ |
Если комплексное число состоит только из действительной части $ z = a $, то его модуль равен $ |z| = |a| $.
Стоит заметить, что модуль комплексных чисел всегда неотрицательный $ |z| \ge 0 $ и равен нулю $ |z| = 0 $, только в случае $ z = 0 $.
Примеры решения
| Пример 1 |
| Найти модуль комплексного числа $ z = 3 - 4i $ |
| Решение |
|
Комплексное число состоит из действительной и мнимой части: $$ a = Re z = 3 $$ $$ b = Im z = -4 $$ Поэтому применяя основную формулу имеем: $$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = 5 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ |z| = 5 $$ |
| Пример 2 |
| Найти модуль комплексного числа $ z = 3i $ |
| Решение |
|
В данном случае отсутствует действительная часть, а вернее она равна нулю: $$ a = Re z = 0 $$ Мнимая часть комплексного числа равна: $$ b = Im z = 3 $$ По формуле из определения вычисляем модуль: $$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3 $$ |
| Ответ |
| $$ |z| = 3 $$ |