Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Модуль комплексного числа

Пусть задано комплексное число $ z = a+bi $, в котором действительная часть $ Re z = a $ и мнимая $ Im z = b $. Число $ i = \sqrt{-1} $ мнимая единица.

Формула

Определение
Модуль комплексного числа равен корню квадратному из суммы квадратов мнимой и действительной части и находится по формуле: $$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $$

Если комплексное число состоит только из действительной части $ z = a $, то его модуль равен $ |z| = |a| $.

Стоит заметить, что модуль комплексных чисел всегда неотрицательный $ |z| \ge 0 $ и равен нулю $ |z| = 0 $, только в случае $ z = 0 $.

Примеры решения

Пример 1
Найти модуль комплексного числа $ z = 3 - 4i $
Решение

Комплексное число состоит из действительной и мнимой части:

$$ a = Re z = 3 $$ $$ b = Im z = -4 $$

Поэтому применяя основную формулу имеем:

$$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = 5 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ |z| = 5 $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2
Найти модуль комплексного числа $ z = 3i $
Решение

В данном случае отсутствует действительная часть, а вернее она равна нулю:

$$ a = Re z = 0 $$

Мнимая часть комплексного числа равна: $$ b = Im z = 3 $$

По формуле из определения вычисляем модуль:

$$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3 $$

Ответ
$$ |z| = 3 $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ