Модуль и аргумент комплексного числа
Пусть задано комплексное число $ z = a+bi $.
| Формула |
| Модуль комплексного числа равен корню квадратному из суммы квадратов мнимой и действительной части и находится по формуле: $$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $$ |
Если комплексное число состоит только из действительной части $ z = a $, то его модуль равен $ |z| = |a| $.
Стоит заметить, что модуль комплексных чисел всегда неотрицательный $ |z| \ge 0 $ и равен нулю $ |z| = 0 $, только в случае $ z = 0 $.
| Формула |
Аргумент комплексного числа обозначается $ \varphi = arg z $ и зависит от полуплоскости, в которой лежат числа $a,b$:
|
| Пример 1 |
| Найти модуль и аргумент комплексного числа $ z = 3 - 4i $. |
| Решение |
|
Комплексное число состоит из действительной и мнимой части: $$ a = Re z = 3 $$ $$ b = Im z = -4 $$ Применяя формулу вычисления модуля получаем: $$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = 5 $$ Теперь вычисляем аргумент. Так как $a = 3 > 0$, то получаем аргумент: $$\varphi = \arctg \frac{b}{a} = \arctg \frac{-4}{3} = -\arctg \frac{4}{3}.$$ |
| Ответ |
| $$ |z| = 5, \varphi = -\arctg \frac{4}{3} $$ |
| Пример 2 |
| Определить модуль и аргумент комплексного числа $ z = 3i $ |
| Решение |
|
В данном случае отсутствует действительная часть, а вернее она равна нулю: $$ a = Re z = 0 $$ Мнимая часть комплексного числа равна: $$ b = Im z = 3 $$ Вычисляем модуль по уже известной формуле: $$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3 $$ А вот аргумент здесь попадает под правило при $a = 0, b>0$ и значит равен $$\varphi = \frac{\pi}{2}.$$ |
| Ответ |
| $$ |z| = 3, \varphi = \frac{\pi}{2} $$ |
| Пример 3 |
| Вычислите модуль и аргумент комплексного числа $$ z = 1+\sqrt{3}i $$ |
| Решение |
|
Выписываем действительную и мнимую часть: $$ a = 1 $$ $$ b = \sqrt{3} $$ Так как $ a > 0 $, то аргумент равен $$ \varphi = arctg \frac{\sqrt{3}}{1} = arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} $$ Находим модуль извлекая квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части: $$|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3}=2.$$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \varphi = \frac{\pi}{3}, |z| = 2 $$ |
| Пример 4 |
| Найдите аргумент комплексного числа $$ z = -1 + \sqrt{3}i $$ |
| Решение |
|
Действительная часть $$ a = Re z = -1 $$ Мнимая часть $$ b = Im z = \sqrt{3} $$ Так как $ a < 0 $ и $ b > 0 $, то пользуемся второй формулой: $$ \varphi = arg z = \pi + arctg \frac{\sqrt{3}}{-1} = \pi + \arctg (-\sqrt{3}) = $$ $$ = \pi - \arctg(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}. $$ |
| Ответ |
| $$ \varphi = \frac{2\pi}{3} $$ |