Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Не решается своя задача?
Заказать решение

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

Тригонометрической формой комплексного числа $z = x+iy$ называется выражение вида $$z = |z|(\cos \varphi + i\sin \varphi),$$где $|z|$ - модуль и $\varphi$ - аргумент комплексного числа.

Показательной формой комплексного числа $z = x+iy$ называется выражение вида $$z = |z|e^{\varphi i},$$ где $|z|$ - модуль и $\varphi$ - аргумент.

Пример 1
Записать в тригонометрической и показательной форме комплексное число $z = 2-i$.
Решение

В условии задачи дано комплексное число в алгебраической форме. Чтобы его перевести в тригонометрическую форму нужно найти модуль и аргумент. 

Вычисляем модуль по формуле корень квадратный из суммы квадратов действительной и мнимой части комплексного числа $$|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}.$$

Для нахождения аргумента нужно учитывать, что в данном комплексном числе $x = 2 > 0$, поэтому формула $\varphi = \arctg \frac{y}{x}$. Более подробнее о формуле можно прочитать в статье аргумент комплексного числа. $$\varphi = \arctg \frac{y}{x} = \arctg \frac{-1}{2} = -\frac{\pi}{6}$$

Теперь можно записать тригонометрическую форму $$z = \sqrt{5}(\cos (-\frac{\pi}{6})+i\sin(-\frac{\pi}{6})),$$и показательную $$z = \sqrt{5}e^{\frac{\pi}{6}i}.$$

Ответ
$$z = \sqrt{5}(\cos (-\frac{\pi}{6})+i\sin(-\frac{\pi}{6}))$$ $$z = \sqrt{5}e^{\frac{\pi}{6}i}$$
Пример 2
Перевести комплексное число в тригонометрическую и показательную форму $z = -2 + \sqrt{3}i$.
Решение

Находим модуль $$|z| = \sqrt{(-2)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 3} = \sqrt{7}.$$

Вычисляем аргумент по формуле $\varphi = \pi + \arctg\frac{y}{x}$, так как $x<0$ и $y>0$ $$\varphi = \pi + \arctg \frac{\sqrt{3}}{-2} = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$$

И наконец, записываем тригонометрическую форму на основании полученных значений $$z = \sqrt{7} (\cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4}),$$и теперь показательную форму $$z = \sqrt{7}e^{ \frac{3\pi}{4}i}.$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$z = \sqrt{7} (\cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4})$$ $$z = \sqrt{7}e^{ \frac{3\pi}{4}i}$$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ
Рекомендуем полезные сервисы для каждого студента
Автор24
Помощь c контрольными, курсовыми, рефератами, докладами, презентациями и другими сложными учебными работами.
МикЭксперт
Помощь в написании магистерских и кандидатских научных работ в кратчайшие сроки.