Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

Тригонометрической формой комплексного числа $z = x+iy$ называется выражение вида $$z = |z|(\cos \varphi + i\sin \varphi),$$где $|z|$ - модуль и $\varphi$ - аргумент комплексного числа.

Показательной формой комплексного числа $z = x+iy$ называется выражение вида $$z = |z|e^{\varphi i},$$ где $|z|$ - модуль и $\varphi$ - аргумент.

Пример 1
Записать в тригонометрической и показательной форме комплексное число $z = 1+\sqrt{3}i$.
Решение
В условии задачи дано комплексное число в алгебраической форме. Чтобы его перевести в тригонометрическую форму нужно найти модуль и аргумент. Вычисляем модуль по формуле корень квадратный из суммы квадратов действительной и мнимой части комплексного числа $$\|z\| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2.$$ Для нахождения аргумента нужно учитывать, что в данном комплексном числе $x = 1 > 0$, поэтому формула $\varphi = \arctg \frac{y}{x}$. Более подробнее о формуле можно прочитать в статье аргумент комплексного числа. $$\varphi = \arctg \frac{y}{x} = \arctg \frac{\sqrt{3}}{1} = \frac{\pi}{3}$$ Теперь можно записать тригонометрическую форму $$z = 2(\cos (\frac{\pi}{3})+i\sin(\frac{\pi}{3})),$$и показательную $$z = 2e^{\frac{\pi}{3}i}.$$
Ответ
$$z = 2(\cos (\frac{\pi}{3})+i\sin(\frac{\pi}{3}))$$ $$z = 2e^{\frac{\pi}{3}i}$$

Решение задач от 25 руб подробное написание Контрольные работы от 200 руб подробное написание

Пример 2
Перевести комплексное число в тригонометрическую и показательную форму $z = -\sqrt{3} + i$.
Решение
Находим модуль $$\|z\| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2.$$ Вычисляем аргумент по формуле $\varphi = \pi + \arctg\frac{y}{x}$, так как $x<0$ и $y>0$ $$\varphi = \pi + \arctg \frac{1}{-\sqrt{3}} = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$$ И наконец, записываем тригонометрическую форму на основании полученных значений $$z = 2(\cos \frac{5\pi}{6} + i\sin \frac{5\pi}{6}),$$и теперь показательную форму $$z = 2e^{ \frac{5\pi}{6}i}.$$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$z = 2 (\cos \frac{5\pi}{6} + i\sin \frac{5\pi}{6})$$ $$z = 2e^{ \frac{5\pi}{6}i}$$