Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа
Тригонометрической формой комплексного числа $z = x+iy$ называется выражение вида $$z = |z|(\cos \varphi + i\sin \varphi),$$где $|z|$ - модуль и $\varphi$ - аргумент комплексного числа.
Показательной формой комплексного числа $z = x+iy$ называется выражение вида $$z = |z|e^{\varphi i},$$ где $|z|$ - модуль и $\varphi$ - аргумент.
| Пример 1 |
| Записать в тригонометрической и показательной форме комплексное число $z = 2-i$. |
| Решение |
|
В условии задачи дано комплексное число в алгебраической форме. Чтобы его перевести в тригонометрическую форму нужно найти модуль и аргумент. Вычисляем модуль по формуле корень квадратный из суммы квадратов действительной и мнимой части комплексного числа $$|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}.$$ Для нахождения аргумента нужно учитывать, что в данном комплексном числе $x = 2 > 0$, поэтому формула $\varphi = \arctg \frac{y}{x}$. Более подробнее о формуле можно прочитать в статье аргумент комплексного числа. $$\varphi = \arctg \frac{y}{x} = \arctg \frac{-1}{2} = -\frac{\pi}{6}$$ Теперь можно записать тригонометрическую форму $$z = \sqrt{5}(\cos (-\frac{\pi}{6})+i\sin(-\frac{\pi}{6})),$$и показательную $$z = \sqrt{5}e^{\frac{\pi}{6}i}.$$ |
| Ответ |
| $$z = \sqrt{5}(\cos (-\frac{\pi}{6})+i\sin(-\frac{\pi}{6}))$$ $$z = \sqrt{5}e^{\frac{\pi}{6}i}$$ |
| Пример 2 |
| Перевести комплексное число в тригонометрическую и показательную форму $z = -2 + \sqrt{3}i$. |
| Решение |
|
Находим модуль $$|z| = \sqrt{(-2)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 3} = \sqrt{7}.$$ Вычисляем аргумент по формуле $\varphi = \pi + \arctg\frac{y}{x}$, так как $x<0$ и $y>0$ $$\varphi = \pi + \arctg \frac{\sqrt{3}}{-2} = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$$ И наконец, записываем тригонометрическую форму на основании полученных значений $$z = \sqrt{7} (\cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4}),$$и теперь показательную форму $$z = \sqrt{7}e^{ \frac{3\pi}{4}i}.$$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$z = \sqrt{7} (\cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4})$$ $$z = \sqrt{7}e^{ \frac{3\pi}{4}i}$$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ