Радикальный признак Коши
Рассмотрим знакоположительный числовой ряд $ \sum _{n=1} ^\infty a_n $. Для его исследования по радикальному признаку Коши требуется вычислить предел:
$$ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} $$
Если предел существует, то рассмотрим 3 варианта событий:
- $ L < 1 $, значит, исследуемый ряд сходится. В частности при $ L = 0 $
- $ L > 1 $, значит, числовой ряд расходится. В частности при $ L= \infty $.
- $ L = 1 $, то радикальный признак Коши не даёт ответа
| Замечание |
| Если радикальный признак не даёт ответа о сходимости рядов, то не даст ответ и признак Даламбера. А если признак Даламбера не сработал, то есть смысл попробовать радикальный признак. |
Данный признак удобно применять для исследования сходимости рядов, общий член которых находится в степени $ n $, либо её подобных. В общих случаях смысл в том, чтобы корень $ n $-ой степени легко извлекался из общего члена числового ряда.
Например, ряд $ \sum_{n=1} ^\infty \bigg( \frac{5n+1}{4n+5} \bigg) ^{2n+1} $ отлично исследуется на сходимость по этому признаку. Но, если дан ряд в степени которого нет $ n $, например, $ \sum_{n=1} ^\infty \bigg( \frac{5n+1}{4n+5} \bigg) ^2 $, то к такому нет смысла применять радикальный признак. Здесь скорее всего должен помощь предельный признак сравнения.
| Пример 1 |
|
Исследовать сходимость числового ряда по радикальному признаку Коши: $$ \sum_{n=1} ^\infty \bigg( \frac{5n+1}{4n+5} \bigg) ^{2n} $$ |
| Решение |
|
Рассмотрим общий член знакоположительного ряда. Так как присутствует степень содержащая $ n $, то целесообразно воспользоваться радикальным признаком. Для этого, извлечем сначала корень $ n $-ой степени из общего члена, а затем вычислим предел полученного выражения: $$ \sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n] {\bigg( \frac{5n+1}{4n+5} \bigg) ^{2n}}=\bigg( \frac{5n+1}{4n+5} \bigg)^2 $$ Вычисляем предел: $$ L = \lim _{n \to \infty} \bigg( \frac{5n+1}{4n+5} \bigg)^2 = \lim _{n \to \infty} \frac{(5n+1)^2}{(4n+5)^2} = $$ Раскрываем скобки в числителе и знаменателе путем возведение в квадрат: $$ = \lim _{n \to \infty} \frac{25n^2+10n+1}{16n^2+40n+25} = $$ Выносим в числителе и знаменателе за скобки $ n^2 $, а затем сокращаем на него: $$ = \lim _{n \to \infty} \frac{n^2(25+\frac{10}{n}+\frac{1}{n^2})}{n^2(16+\frac{40}{n}+\frac{25}{n^2})} = \lim _{n \to \infty} \frac{25+\frac{10}{n}+\frac{1}{n^2}}{16+\frac{40}{n}+\frac{25}{n^2}} = \frac{25}{16} $$ Так как $ L = \frac{25}{16} = 1.56 > 1 $, то ряд расходится! Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| Числовой ряд расходится |
| Пример 2 |
| Исследовать сходимость ряда: $$ \sum _{n=1} ^\infty \frac{(2n+3)^n}{3^{2n} n^n} $$ |
| Решение |
|
Ряд знакоположительный. В степенях содержатся $ n $, а это первым делом говорит о том, что возможно стоит применить радикальный признак Коши. Извлекаем корень $ n $-ой степени из общего члена ряда: $$ \sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n] {\frac{(2n+3)^n}{3^{2n} n^n}} = \frac{2n+3}{3^2 n} = $$ Вычисляем предел: $$ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n+3}{3^2 n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n+3}{9n} = $$ Выполняем сокращение числителя и знаменателя на $ n $: $$ = \lim_{n \to \infty} \frac{2+\frac{3}{n}}{9} = \frac{2+0}{9} = \frac{2}{9} $$ В итоге получили, что $ L = \frac{2}{9} = 0.22 < 1 $, то числовой ряд сходится. |
| Ответ |
| Ряд сходится |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ