Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Радикальный признак Коши

Формула

Рассмотрим знакоположительный числовой ряд $ \sum _{n=1} ^\infty a_n $. Для его исследования по радикальному признаку Коши требуется вычислить предел:

$$ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} $$

Если предел существует, то рассмотрим 3 варианта событий:

  1. $ L < 1 $, значит, исследуемый ряд сходится. В частности при $ L = 0 $
  2. $ L > 1 $, значит, числовой ряд расходится. В частности при $ L= \infty $.
  3. $ L = 1 $, то радикальный признак Коши не даёт ответа
Замечание
Если радикальный признак Коши не даёт ответа о сходимости рядов, то не даст ответ и признак Даламбера. А если признак Даламбера не сработал, то есть смысл попробовать признак Коши.

Когда удобно применять признак?

Данный признак удобно применять для исследования сходимости рядов, общий член которых находится в степени $ n $, либо её подобных. В общих случаях смысл в том, чтобы корень $ n $-ой степени легко извлекался из общего члена числового ряда.

Например, ряд $ \sum_{n=1} ^\infty \bigg( \frac{5n+1}{4n+5} \bigg) ^{2n+1} $ отлично исследуется на сходимость по этому признаку. Но, если дан ряд в степени которого нет $ n $, например, $ \sum_{n=1} ^\infty \bigg( \frac{5n+1}{4n+5} \bigg) ^2 $, то к такому нет смысла применять радикальный признак. Здесь скорее всего должен помощь предельный признак сравнения.

Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание

Примеры решений

Пример 1

Исследовать сходимость числового ряда по радикальному признаку Коши:

$$ \sum_{n=1} ^\infty \bigg( \frac{5n+1}{4n+5} \bigg) ^{2n} $$

Решение

Рассмотрим общий член знакоположительного ряда. Так как присутствует степень содержащая $ n $, то целесообразно воспользоваться радикальным признаком. Для этого, извлечем сначала корень $ n $-ой степени из общего члена, а затем вычислим предел полученного выражения:

$$ \sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n] {\bigg( \frac{5n+1}{4n+5} \bigg) ^{2n}}=\bigg( \frac{5n+1}{4n+5} \bigg)^2 $$

Вычисляем предел:

$$ L = \lim _{n \to \infty} \bigg( \frac{5n+1}{4n+5} \bigg)^2 = \lim _{n \to \infty} \frac{(5n+1)^2}{(4n+5)^2} = $$

Раскрываем скобки в числителе и знаменателе путем возведение в квадрат:

$$ = \lim _{n \to \infty} \frac{25n^2+10n+1}{16n^2+40n+25} = $$

Выносим в числителе и знаменателе за скобки $ n^2 $, а затем сокращаем на него:

$$ = \lim _{n \to \infty} \frac{n^2(25+\frac{10}{n}+\frac{1}{n^2})}{n^2(16+\frac{40}{n}+\frac{25}{n^2})} = \lim _{n \to \infty} \frac{25+\frac{10}{n}+\frac{1}{n^2}}{16+\frac{40}{n}+\frac{25}{n^2}} = \frac{25}{16} $$

Так как $ L = \frac{25}{16} = 1.56 > 1 $, то по радикальному признаку коши ряд расходится!

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
Числовой ряд расходится
Пример 2
Исследовать сходимость ряда: $$ \sum _{n=1} ^\infty \frac{(2n+3)^n}{3^{2n} n^n} $$
Решение

Ряд знакоположительный. В степенях содержатся $ n $, а это первым делом говорит о том, что возможно стоит применить радикальный признак Коши.

Извлекаем корень $ n $-ой степени из общего члена ряда:

$$ \sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n] {\frac{(2n+3)^n}{3^{2n} n^n}} = \frac{2n+3}{3^2 n} = $$

Вычисляем предел:

$$ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n+3}{3^2 n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n+3}{9n} = $$

Выполняем сокращение числителя и знаменателя на $ n $:

$$ = \lim_{n \to \infty} \frac{2+\frac{3}{n}}{9} = \frac{2+0}{9} = \frac{2}{9} $$

В итоге получили, что $ L = \frac{2}{9} = 0.22 < 1 $, то по радикальному признаку числовой ряд сходится.

Ответ
Ряд сходится

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ