Сумма ряда
Пусть задан числовой ряд $ \sum_{n=1}^\infty a_n $.
Сумма ряда равна пределу частичных сумм:
$$ S = \lim_{n\to\infty} S_n $$
В данной формуле частичная сумма $ S_n $ расчитывается следующим образом:
$$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_n $$
| Замечание |
| Если предел частичных сумм является конечным, то ряд является сходящимся. В противном случае ряд расходящийся. |
Чтобы найти сумму ряда нужно выполнить несколько операций над общим членом ряда:
- Составить частичную сумму $ S_n $
- Найти предел $ \lim_{n\to\infty} S_n = S $
Если получено конечное число $ S $, то оно и есть сумма ряда!
Типы общего члена ряда в задачах:
- Ряд задан бесконечной убывающей геометрической прогрессией $ \sum_{n=1}^\infty q^n $, $ |q| \lt 1 $
В этом случае сумма вычисляется по формуле $ S = \frac{b_1}{1-q} $, где $ b_1 $ - первый член прогрессии, а $ q $ - её основание - Ряд задан в виде рациональной дроби $ \frac{P(n)}{Q(n)} $
Здесь нужно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов для разложения дроби на сумму элементарных дробей. Затем составить частичную сумму $ S_n $ и найти её предел, который будем искомой суммой
| Пример 1 |
| Найти сумму ряда: $ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^{n+1}} $ |
| Решение |
|
Так как ряд представляет собой бесконечною убывающую геометрическую прогрессию, то воспользуемся формулой: $$ S = \frac{b_1}{1-q} $$ Первый член прогрессии при $ n = 1 $ равен: $$ b_1 = \frac{1}{9} $$ Основанием является: $$ q = \frac{1}{3} $$ Подставляя всё это в формулу для вычисления суммы получаем: $$ S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{\frac{1}{9}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{9}}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{6} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ S = \frac{1}{6} $$ |
| Пример 2 | ||
| Найти сумму ряда $ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} $ | ||
| Решение | ||
|
Общий член ряда представляе собой рациональную дробь. Выполним разложение дроби на простейшие с помощью метода неопределенных коэффициентов: $$ \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{A}{2n+1} + \frac{B}{2n+3} = \frac{A(2n+3)+B(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)} $$ Приравниваем числитель последней дроби к числителю первой дроби: $$ A(2n+3)+B(2n+1) = 1 $$ Раскрываем скобки: $$ 2An + 3A + 2Bn + B = 1 $$ Теперь определяем находим неизвестные коэффициенты: $$ \begin{cases} n^0: &2A+2B=0 \\ n^1: &3A+B=1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} A=\frac{1}{2} \\ B=-\frac{1}{2} \end{cases} $$ После разложения общий член ряда записывается следующим образом: $$ a_n =\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{2} \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2} \frac{1}{2n+3} $$ Далее составим частичную сумму ряда: $$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_n $$ $$ a_1 = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\bigg ) $$ $$ a_2 = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\bigg ) $$ $$ a_3 = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\bigg ) $$ $$ ........................................ $$ $$ a_{n-1}=\frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \bigg ) $$ $$ a_n = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) $$
Итого, получаем: $$ S_n = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\bigg ) + \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\bigg ) + \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\bigg ) + ... $$ $$ ... + \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \bigg ) + \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) = $$ Выносим дробь одну вторую $ \frac{1}{2} $ за скобки: $$ = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9} ... + $$ $$ + ... \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3} \bigg) = $$ Замечаем, что в скобках есть подобные слагаемые, которые взаимно уничтожаются. Остаются только лишь два из них: $$ S_n = \frac{1}{2}\bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) $$ Теперь осталось вычислить предел частичной суммы $ S_n $. Если он существует и конечен, то он является суммой ряда, а сам ряд сходится: $$ S=\lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2}\bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) = $$ $$ = \frac{1}{2} \lim_{n\to\infty} \bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} $$ |
||
| Ответ | ||
| $$ S = \frac{1}{6} $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ