Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Сумма ряда

Определение

Пусть задан числовой ряд $ \sum_{n=1}^\infty a_n $.

Сумма ряда равна пределу частичных сумм:

$$ S = \lim_{n\to\infty} S_n $$

В данной формуле частичная сумма $ S_n $ расчитывается следующим образом:

$$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_n $$

Замечание
Если предел частичных сумм является конечным, то ряд является сходящимся. В противном случае ряд расходящийся.

Как найти?

Чтобы найти сумму ряда нужно выполнить несколько операций над общим членом ряда:

  1. Составить частичную сумму $ S_n $
  2. Найти предел $ \lim_{n\to\infty} S_n = S $

Если получено конечное число $ S $, то оно и есть сумма ряда!

Типы общего члена ряда в задачах:

  • Ряд задан бесконечной убывающей геометрической прогрессией $ \sum_{n=1}^\infty q^n $, $ |q| \lt 1 $
    В этом случае сумма вычисляется по формуле $ S = \frac{b_1}{1-q} $, где $ b_1 $ - первый член прогрессии, а $ q $ - её основание
  • Ряд задан в виде рациональной дроби $ \frac{P(n)}{Q(n)} $
    Здесь нужно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов для разложения дроби на сумму элементарных дробей. Затем составить частичную сумму $ S_n $ и найти её предел, который будем искомой суммой

Примеры решений

Пример 1
Найти сумму ряда: $ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^{n+1}} $
Решение

Так как ряд представляет собой бесконечною убывающую геометрическую прогрессию, то воспользуемся формулой: $$ S = \frac{b_1}{1-q} $$

Первый член прогрессии при $ n = 1 $ равен: $$ b_1 = \frac{1}{9} $$ Основанием является: $$ q = \frac{1}{3} $$

Подставляя всё это в формулу для вычисления суммы получаем:

$$ S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{\frac{1}{9}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{9}}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{6} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ S = \frac{1}{6} $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2
Найти сумму ряда $ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} $
Решение

Общий член ряда представляе собой рациональную дробь. Выполним разложение дроби на простейшие с помощью метода неопределенных коэффициентов:

$$ \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{A}{2n+1} + \frac{B}{2n+3} = \frac{A(2n+3)+B(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)} $$

Приравниваем числитель последней дроби к числителю первой дроби:

$$ A(2n+3)+B(2n+1) = 1 $$

Раскрываем скобки:

$$ 2An + 3A + 2Bn + B = 1 $$

Теперь определяем находим неизвестные коэффициенты:

$$ \begin{cases} n^0: &2A+2B=0 \\ n^1: &3A+B=1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} A=\frac{1}{2} \\ B=-\frac{1}{2} \end{cases} $$

После разложения общий член ряда записывается следующим образом:

$$ a_n =\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{2} \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2} \frac{1}{2n+3} $$

Далее составим частичную сумму ряда: $$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_n $$

$$ a_1 = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\bigg ) $$

$$ a_2 = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\bigg ) $$

$$ a_3 = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\bigg ) $$

$$ ........................................ $$

$$ a_{n-1}=\frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \bigg ) $$

$$ a_n = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) $$

Замечание

Достаточно часто читатели нам присылают просьбы найти суммы своих рядов по причине того, что они не понимают, откуда получается $ a_{n-1} $.

Обратите внимание, чтобы составить $ a_{n-1} $ необходимо подставить в $ a_n $ вместо буковки $ n $ выражение $ n-1 $. После выполнить раскрытие скобок.

Итого, получаем:

$$ S_n = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\bigg ) + \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\bigg ) + \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\bigg ) + ... $$

$$ ... + \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \bigg ) + \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) = $$

Выносим дробь одну вторую $ \frac{1}{2} $ за скобки:

$$ = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9} ... + $$

$$ + ... \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3} \bigg) = $$

Замечаем, что в скобках есть подобные слагаемые, которые взаимно уничтожаются. Остаются только лишь два из них:

$$ S_n = \frac{1}{2}\bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) $$

Теперь осталось вычислить предел частичной суммы $ S_n $. Если он существует и конечен, то он является суммой ряда, а сам ряд сходится:

$$ S=\lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2}\bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) = $$

$$ = \frac{1}{2} \lim_{n\to\infty} \bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} $$

Ответ
$$ S = \frac{1}{6} $$

В статье было рассказано: как найти сумму ряда, примеры решений, определение и формулы для двух типов числовых рядов. 

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ