Область сходимости степенного ряда
Под областью сходимости степенных рядов понимается множество значений $ x $, при которых ряд сходится.
Для того, чтобы найти область сходимости степенного ряда $ \sum_{n = 1}^ \infty a_n (x-a)^n $ достаточно воспользоваться формулой Даламбера: $$ L = \lim\limits_{n \to \infty} \bigg |\frac{u_{n+1}}{u_n} \bigg | $$
Если:
- $ L = 0 $, то область сходимости $ x \in (-\infty; +\infty) $
- $ L = \infty $, то область сходимости состоит из $ x = 0 $
- В остальных случаях составляем неравенство $ L < 1 $ и решаем его
После решения неравенства получаем интервал сходимости степенного ряда. Обязательно нужно исследовать сходимость ряда на концах полученного интервала. Для этого используем штатные признаки сходимости рядов:
- Сравнения
- Предельный
- Даламбера
- Радикальный Коши
- Интегральный Коши
- Лейбница
- Другие известные
Возможно так, что ряд очевидным образом расходится на каком-либо из концов, полученного интервала. Не забываем проверять необходимый признак сходимости $ \lim\limits_{x \to \infty} u_n = 0 $
Радиус сходимости вычисляется по формуле: $ R = \frac{b-a}{2} $
| Пример |
| Найти область сходимости степенного ряда: $ \sum_{n = 1}^\infty \frac{x^n}{n^2} $ |
| Решение |
|
Выпишем общий член и следущий: $$ u_n = \frac{x^n}{n^2} $$ $$ u_{n+1} \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} $$ Найдем отношения следующего и предыдущего члена ряда: $$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{x^{n+1} n^2}{(n+1)^2 x^n} = \frac{x n^2}{(n+1)^2} $$ Находим предел модуля полученного выражения: $$ \lim\limits_{n \to \infty} \bigg |\frac{u_{n+1}}{u_n} \bigg | = \lim\limits_{n \to \infty} \bigg |\frac{x n^2}{(n+1)^2} \bigg | = $$ Так как $ n $ положительное, то палочки можно убрать. А $ x $ может принимать как положительные, так и отрицательные значения, поэтому его выносить за знак модуля не станем. $$ = |x| \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2}{(n+1)^2} = \frac{\infty}{\infty} = $$ Вынесем $ n^2 $ за скобки и выполним сокращение числителя и знаменателя: $$ = |x| \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 (1+\frac{1}{n})^2} = |x| \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^2} = $$ Вычисляем предел окончательно: $$ =|x| \cdot 1 = |x| $$ Итак, предел равен: $$ \lim\limits_{n \to \infty} \bigg |\frac{x n^2}{(n+1)^2} \bigg | = |x| $$ Составим строгое неравенство всегда меньшее единицы: $$ |x|<1 $$ Раскроем модуль и получим, что интервал сходимости: $$ -1 < x < 1 $$ Итак, интервал найден. Теперь необходимо найти область сходимости степенного ряда. А для этого исследуем поведение ряда на концах полученного интервала: 1) Возьмём левую границу $ x = -1 $ Подставляя $ x = -1 $ в исходный ряд, получаем ряд: $ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} $ Так как ряд знакочередующийся из-за $ (-1)^n $, то исследуем сходимость по признаку Лейбница: 1) Ряд знакочередующийся 2) $ \lim\limits_{n \to \infty} \bigg | \frac{(-1)^n}{n^2} \bigg | = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0 $ Выполнены оба условия, значит ряд сходится и точку $ x=-1 $ можно включить в область сходимости. 2) Возьмём правую границу $ x = 1 $ Подставим $ x = 1 $ в исходный ряд и получим: $ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} $ Текущий ряд попадает под общий гармонический ряд, в котором $ p = 2 $. А так как $ p>1 $, то ряд сходится. Значит, можно точку $ x = 1 $ записать в область сходимости. Итого, подведем итог: область сходимости степенного ряда $ \sum_{n = 1}^\infty \frac{x^n}{n^2} $ записывается в виде: $ -1 \leqslant x \leqslant 1 $ Найдем радиус сходимости $ R = \frac{b-a}{2} = \frac{1+1}{2} = 1 $ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ x \in [-1;1], R = 1 $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ