Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Область сходимости степенного ряда: примеры

Под областью сходимости степенных рядов понимается множество значений $ x $, при которых ряд сходится.

Для того, чтобы найти область сходимости степенного ряда $ \sum_{n = 1}^ \infty a_n (x-a)^n $ достаточно воспользоваться формулой Даламбера: $$ L = \lim\limits_{x \to \infty} \bigg |\frac{u_{n+1}}{u_n} \bigg | $$

Если:

  1. $ L = 0 $, то область сходимости $ x \in (-\infty; +\infty) $
  2. $ L = \infty $, то область сходимости состоит из $ x = 0 $
  3. В остальных случаях составляем неравенство $ L < 1 $ и решаем его

После решения неравенства получаем интервал сходимости степенного ряда. Обязательно нужно исследовать сходимость ряда на концах полученного интервала. Для этого используем штатные признаки сходимости рядов:

  • Сравнения
  • Предельный
  • Даламбера
  • Радикальный Коши
  • Интегральный Коши
  • Лейбница
  • Другие известные

Возможно так что ряд очевидным образом расходится на каком-либо из концов, полученного интервала. Не забываем проверять необходимый признак сходимости $ \lim\limits_{x \to \infty} u_n = 0 $

Радиус сходимости вычисляется по формуле: $ R = \frac{b-a}{2} $ 

Пример
Найти область сходимости степенного ряда: $ \sum_{n = 1}^\infty \frac{x^n}{n^2} $
Решение

Выпишем общий член и следущий:

$$ u_n = \frac{x^n}{n^2} $$

$$ u_{n+1} \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} $$

Найдем отношения следующего и предыдущего члена ряда: $$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{x^{n+1} n^2}{(n+1)^2 x^n} = \frac{x n^2}{(n+1)^2} $$

Находим предел модуля полученного выражения:

$$ \lim\limits_{x \to \infty} \bigg |\frac{u_{n+1}}{u_n} \bigg | = \lim\limits_{n \to \infty} \bigg |\frac{x n^2}{(n+1)^2} \bigg | = $$

Так как $ n $ положительное, то палочки можно убрать. А $ x $ может принимать как положительные, так и отрицательные значения, поэтому его выносить за знак модуля не станем.

$$ = |x| \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2}{(n+1)^2} = \frac{\infty}{\infty} = $$

Вынесем $ n^2 $ за скобки и выполним сокращение числителя и знаменателя:

$$ = |x| \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 (1+\frac{1}{n})^2} = |x| \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^2} = $$

Вычисляем предел окончательно:

$$ =|x| \cdot 1 = |x| $$

Итак, предел равен:

$$ \lim\limits_{n \to \infty} \bigg |\frac{x n^2}{(n+1)^2} \bigg | = |x| $$

Составим строгое неравенство всегда меньшее единицы:

$$ |x|<1 $$

Раскроем модуль и получим, что интервал сходимости:

$$ -1 < x < 1 $$

Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание

Итак, интервал найден. Теперь необходимо найти область сходимости степенного ряда. А для этого исследуем поведение ряда на концах полученного интервала:

1) Возьмём левую границу $ x = -1 $

Подставляя $ x = -1 $ в исходный ряд, получаем ряд: $ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} $

Так как ряд знакочередующийся из-за  $ (-1)^n $, то исследуем сходимость по признаку Лейбница:

1) Ряд знакочередующийся

2) $ \lim\limits_{x \to \infty} \bigg | \frac{(-1)^n}{n^2} \bigg | = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0 $

Выполнены оба условия, значит ряд сходится и точку $ x=-1 $ можно включить в область сходимости.

2) Возьмём правую границу $ x = 1 $

Подставим $ x = 1 $ в исходный ряд и получим: $ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} $

Текущий ряд попадает под общий гармонический ряд, в котором $ p = 2 $. А так как $ p>1 $, то ряд сходится. Значит, можно точку $ x = 1 $ записать в область сходимости.

Итого, подведем итог: область сходимости степенного ряда $ \sum_{n = 1}^\infty \frac{x^n}{n^2} $ записывается в виде: $ -1 \leqslant x \leqslant 1 $

Найдем радиус сходимости $ R = \frac{b-a}{2} = \frac{1+1}{2} = 1 $

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ x \in [-1;1], R = 1 $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ