Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов

Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам. Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Интегральный признак Коши

Пусть задан ряд с положительными членами, который монотонно убывает при . К такому ряду можно попробовать применить интегральный признак Коши, чтобы исследовать на сходимость.

Суть заключается в том, что нужно составить несобственный интеграл из общего члена ряда , заменив при этом букву на . Затем вычислить, полученный интеграл. Если ответ его будет конечным, то значит, искомый ряд одновременно сходится с несобственным интегралом.

Интегральный признак Коши, примеры решений которого будут разобраны далее, очень удобен при исследовании рядов вида: и других, в которых вместе есть некоторая функция и её производная.

Алгоритм исследования

  1. Проверяем, что члены ряда положительные, то есть , при
  2. Узнаем, что члены ряда монотонно убывают, то есть
  3. Функция определена при всех , то есть существует
  4. Составляем несобственный интеграл из общего члена ряда, заменив на
  5. Вычислить интеграл, и сделать вывод об одновременной сходимости или расходимости вместе с рядом
Решение задач от 20 руб/шт, от 2 часов
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб, от 4 часов
подробное написание

Примеры решения

Пример 1
Исследовать на сходимость по интегральном признаку Коши ряд
Решение

Ряд знакоположительный, так как функции и положительные. Члены ряда монотонно убывают с возрастанием в знаменателе. Так же замечаем в общем члене содержится функция и её производная , а это признак к тому, что нужно воспользоваться интегральным признаком Коши.

Составляем несобственный интеграл, в котором подменяем на и переписываем пределы из под значка суммы:

Выполняем подведение под знак дифференциала функции :

В результате вычисления интеграла оказалось, что он расходится. И одновременно с ним расходится ряд

Ответ
Ряд расходится
Решение задач от 20 руб/шт, от 2 часов
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб, от 4 часов
подробное написание
Пример 2
Исследовать по интегральному признаку ряд:
Решение

Ряд знакоположительный, члены монотонно убывают. Поэтому составляем несобственный интеграл, чтобы воспользоваться интегральным признаком:

Так как интеграл равен бесконечности, то он расходится. А с ним расходится и ряд

Ответ
Ряд расходится
Пример 3
С помощью интегрального признака Коши на примерах решений доказать расходимость гармонического ряда и сходимость ряда
Решение

а) Исследуем первый ряд:

Интеграл расходится, а вместе с ним и ряд

б) Исследуем второй ряд:

Так как получено конечно число, то интеграл сходится. А вместе с ним одновременно сходится и ряд

Ответ
а) Расходится б) Сходится

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ