Интегральный признак Коши
Пусть задан ряд с положительными членами, который монотонно убывает при . К такому ряду можно попробовать применить интегральный признак Коши, чтобы исследовать на сходимость.
Суть заключается в том, что нужно составить несобственный интеграл из общего члена ряда , заменив при этом букву на . Затем вычислить, полученный интеграл. Если ответ его будет конечным, то значит, искомый ряд одновременно сходится с несобственным интегралом.
Интегральный признак Коши, примеры решений которого будут разобраны далее, очень удобен при исследовании рядов вида: и других, в которых вместе есть некоторая функция и её производная.
Алгоритм исследования
- Проверяем, что члены ряда положительные, то есть , при
- Узнаем, что члены ряда монотонно убывают, то есть
- Функция определена при всех , то есть существует
- Составляем несобственный интеграл из общего члена ряда, заменив на
- Вычислить интеграл, и сделать вывод об одновременной сходимости или расходимости вместе с рядом
Примеры решения
| Пример 1 |
| Исследовать на сходимость по интегральном признаку Коши ряд |
| Решение |
|
Ряд знакоположительный, так как функции и положительные. Члены ряда монотонно убывают с возрастанием в знаменателе. Так же замечаем в общем члене содержится функция и её производная , а это признак к тому, что нужно воспользоваться интегральным признаком Коши. Составляем несобственный интеграл, в котором подменяем на и переписываем пределы из под значка суммы: Выполняем подведение под знак дифференциала функции : В результате вычисления интеграла оказалось, что он расходится. И одновременно с ним расходится ряд |
| Ответ |
| Ряд расходится |
| Пример 2 |
| Исследовать по интегральному признаку ряд: |
| Решение |
|
Ряд знакоположительный, члены монотонно убывают. Поэтому составляем несобственный интеграл, чтобы воспользоваться интегральным признаком: Так как интеграл равен бесконечности, то он расходится. А с ним расходится и ряд |
| Ответ |
| Ряд расходится |
| Пример 3 |
| С помощью интегрального признака Коши на примерах решений доказать расходимость гармонического ряда и сходимость ряда |
| Решение |
|
а) Исследуем первый ряд: Интеграл расходится, а вместе с ним и ряд б) Исследуем второй ряд: Так как получено конечно число, то интеграл сходится. А вместе с ним одновременно сходится и ряд |
| Ответ |
| а) Расходится б) Сходится |