Исследование сходимости числового ряда

Числовой ряд в общем виде задаётся следующей формулой: $$\sum_{n=1}^\infty a_n.$$ Разберем из чего состоит ряд. $a_n$ - это общий член ряда. $n$ - это переменная суммирования, которая может начинаться с нуля или любого натурального числа. Таким образом ряд расписывается следующим образом: $$\sum_{n=1}^\infty a_n = a_1+a_2+a_3+...$$ Слагаемые $a_1,a_2,a_3,...$ называются членами ряда. Если они неотрицательные, то ряд называется положительными числовым рядом.

Ряд расходится, если сумма его членов равна бесконечности: $$\sum_{n=1}^\infty n^2+1 = 2+5+10+...$$Ряд сходится, если сумма его членов равна конечному числу. Например, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: $$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} = 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...$$ Её сумма вычисляется по следующей формуле $S = \frac{A}{1-q}$, где $A$ - первый член прогрессии, а $q$ - основание. В данном случае сумма равна $S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$.

Стоит заметить, что вычислить сумму ряда в большинстве случаев просто так не получится. Поэтому используют признаки сходимости, выполнение которых достаточно для установления сходимости ряда. Например, признаки Коши и Даламбера. Зависит это от общего члена ряда.

Необходимый признак сходимости ряда

Необходимый признак сходимости ряда нужно применять мысленно перед тем, как использовать достаточные признаки. Именно благодаря ему, можно заранее установить, что ряд расходится и не тратить время на проверку достаточными признаками. Для этого, нужно найти предел общего члена ряда и в зависимости от его значения сделать вывод.

Если ряд сходится, то $\lim\limits_{n\to \infty} a_n = 0$
Если $\lim\limits_{n\to \infty} a_n \neq 0$ или не существует, то ряд расходится

ЗАМЕЧАНИЕ ! Первый пункт не работает в обратную сторону и нужно использовать достаточный признак сходимости. То есть, если предел общего члена ряда равен нулю, то это ещё не значит, что ряд сходится! Требуется использовать один из достаточных признаков сходимости.

Пример 1
Проверить сходимость числового ряда $\sum_{n\to 1}^\infty n^2 + 1$
Решение
Применяем необходимый признак сходимости ряда $$\lim_{n\to\infty} n^2+1 = \infty$$Так как получили бесконечность, то значит ряд расходится и на этом исследование заканчивается. Если бы предел равнялся нулю, то действовали бы дальше применяя достаточные признаки.
Ответ
Ряд расходится

Пример 2
Проверить сходимость $\sum_{n\to 1}^\infty \frac{1}{n^2+1}$
Решение
Ищем предел общего члена ряда $$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{n^2+1} = 0$$Так как предел получился равным нулю, то нельзя сказать сходится или расходится ряд. Нужно применить один из достаточных признаков сходимости.
Ответ
Требуется дополнительное исследование

Признаки сравнения

Обобщенный гармонический ряд записывается следующим образом $ \sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{n^p} $.

Если $ p = 1 $, то ряд $ \sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{n} $ расходится
Если $ p \leqslant 1 $, то ряд расходится. Пример,$ \sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} $, в котором $ p = \frac{1}{2} $
Если $ p > 1 $, то ряд сходится. Пример, $ \sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{\sqrt{n^3}} $, в котором $ p = \frac{3}{2} > 1 $

Этот ряд пригодится нам при использовании признаков сравнения, о которых пойдет речь дальше.

Признак сравнения

Пусть даны два знакоположительных числовых ряда $\sum_{n=1}^\infty a_n$ и $\sum_{n=1}^\infty b_n$, причем второй ряд сходящийся. Тогда, если начиная с некоторого номера $n$ выполнено неравенство $a_n \le b_n$, то ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n$ сходится вместе с $\sum_{n=1}^\infty b_n$.

Предельный признак сравнения

Если предел отношения общих членов двух рядов $\sum_{n=1}^\infty a_n$ и $\sum_{n=1}^\infty b_n$ равен конечному числу и отличается от нуля $$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = A,$$то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

ЗАМЕЧАНИЕ. Предельный признак удобно применять когда хотя бы один из общих членов ряда представляет собой многочлен.

Пример 3
Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3+n^2+1}$$
Решение
Проверяем ряд на необходимый признак сходимости и убеждаемся в его выполнении $$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^3+n^2+1} = 0.$$ Теперь данный ряд нужно сравнить с одним из гармонических рядов. В данном случае видим, что в знаменателе старшая степень $n^3$, значит подойдет гармонический ряд $\frac{1}{n^3}$, а он как известно сходится. Но нужно дополнительно мысленно проверить, что выполняется неравенство $n^3 \le n^3+n^2+1$. Убедившись в этом получаем, что $$\frac{1}{n^3+n^2+1} \le \frac{1}{n^3}.$$Это означает, что $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3+n^2+1}$ сходится.
Ответ
Ряд сходится

Решение задач от 20 руб подробное решение Контрольные работы от 200 руб подробное решение

Пример 4
Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2-2n}$$
Решение
Воспользуемся предельным признаком сравнения. Сравним данный ряд со сходящимся рядом $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$. Найти предел отношения общих членов двух рядов $$\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^2-2n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2-2n}{n^2} =$$Выносим за скобку $n^2$ и сокращаем на него числитель и знаменатель $$\lim_{n\to\infty} \frac{n^2(1-\frac{2}{n})}{n^2} = \lim_{n\to\infty} (1-\frac{2}{n}) = 1.$$ Итак, получили конечное число отличное от нуля, значит оба ряда сходятся одновременно.
Ответ
Ряд сходится

Признак Даламбера

Признак рекомендуется использовать, если в общем члене ряда есть:

Число в степени. Например, $2^n, 3^{n+1}$
Присутствует факториал. Например, $(n+1)!,(2n-3)!$

Для исследования сходимости ряда по признаку Даламбера нужно найти предел отношения двух членов ряда: $$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$$

В зависимости от значения предела делается вывод о сходимости или расходимости ряда:

При $0 \le L \le 1$ ряд сходится
При $L > 1$ или $L = \infty$ ряд расходится
При $L = 1$ признак не даёт ответа и нужно пробовать другой

Пример 5
Исследовать ряд на сходимость по признаку Даламбера $$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n+1}}{n!}$$
Решение
Общий член ряда $a_n = \frac{2^{n+1}}{n!}$, тогда следующий член ряда будет $$a_{n+1} = \frac{2^{(n+1)+1}}{(n+1)!} = \frac{2^{n+2}}{(n+1)!}$$ Теперь находим предел предыдущего и последующего членов ряда $$L=\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{2^{n+2}}{(n+1)!}}{\frac{2^{n+1}}{n!}} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+2} n!}{(n+1)! 2^{n+1}}$$ Выполняем сокращение на $2^{n+1}$ и $n!$ и находим значение предела $$L=\lim_{n\to\infty} \frac{2}{n+1} = 0$$ Так как предел равен нулю ($L=0$), то ряд сходится по признаку Даламбера.
Ответ
Числовой ряд сходится

Пример 6
Исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера $$\sum_{n=1}^\infty \frac{3^{n+1}}{\sqrt{2n+5}}$$
Решение
Начинаем с того, что выписываем общий член ряда $$a_n = \frac{3^{n+1}}{\sqrt{2n+5}}.$$ Подставляем в него $n = n + 1$ и раскрываем скобки $$a_{n+1} = \frac{3^{(n+1)+1}}{\sqrt{2(n+1)+5}} = \frac{3^{n+2}}{\sqrt{2n+7}}.$$ Находим отношение следующего общего члена к предыдущему и упрощаем $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{3^{n+2}}{\sqrt{2n+7}}}{\frac{3^{n+1}}{\sqrt{2n+5}}} = \frac{(3^{n+2})\sqrt{2n+5}}{\sqrt{2n+7}(3^{n+1})} = \frac{3\sqrt{2n+5}}{\sqrt{2n+7}}$$ Теперь вычисляем предел последней дроби, чтобы проверить признаком Даламбера сходимость. Для этого сократим числитель и знаменатель на $n$ $$L = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{3\sqrt{2n+5}}{\sqrt{2n+7}} = 3\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sqrt{2+\frac{5}{n}}}{\sqrt{2+\frac{7}{n}}} = 3\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3.$$ Так как получился $L > 0$, то по признаку Даламбера представленный ряд расходится. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
Ряд расходится

Радикальный признак Коши

Для установления сходимости ряда по радикальному признаку Коши нужно вычислить предел корня $n$ степени из общего члена ряда $$L = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}.$$

Если $L<1$, то ряд сходится,
если $L>1$, то ряд расходится,
если $L=1$, то признак не даёт ответа о сходимости.

Применяется данный признак в случаях, когда общий член ряда находится в степени содержащей $n$.

Пример 7
Исследовать ряд на сходимость $$\sum_{n=1}^\infty \bigg(\frac{3n+1}{2n+7}\bigg)^{3n}.$$
Решение
Так как у общего члена есть тепень, в составе которой, присутствует $n$, то есть смысл попробовать применить радикальный признак сходимости Коши. Для этого, извлекаем корень $n$ степени из общего члена. $$\sqrt[n]{\bigg(\frac{3n+1}{2n+7}\bigg)^{3n}} = \bigg(\frac{3n+1}{2n+7}\bigg)^3.$$ Теперь вычисляем предел полученного выражения. $$L = \lim\limits_{n\to\infty} \bigg(\frac{3n+1}{2n+7}\bigg)^3 = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{(3n+1)^3}{(2n+7)^3}$$ Осталось вынести за скобки $n^3$ одновременно в числетеле и знаменателе. $$L=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n^3(3+\frac{1}{n})^3}{n^3(2+\frac{7}{n})^3} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{(3+\frac{1}{n})^3}{2+\frac{7}{n}} = \frac{3}{2}.$$ Делаем вывод: так как $L > 1$, то представленный ряд расходится.
Ответ
Ряд расходится

Решение задач от 20 руб подробное решение Контрольные работы от 200 руб подробное решение

Пример 8
Исследовать сходимость ряда $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n} \bigg(\frac{n}{n+1}\bigg)^n.$$
Решение
Выписываем общий член ряда и извлекаем из него корень $n$ степени. $$\sqrt[n]{\frac{1}{3^n} \bigg(\frac{n}{n+1}\bigg)^n} = \frac{1}{3}\frac{n}{n+1}$$ Вычисляем предел $$L = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{3}\frac{n}{n+1} = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}.$$ Так как предел меньше единицы $L = \frac{1}{3} < 1$, то данный ряд сходится.
Ответ
Ряд сходится

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

Рекомендуем изучить по этой теме