Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Необходимый признак сходимости ряда

Формула

Пусть задан положительный числовой ряд $ \sum_{n=1} ^\infty a_n $. Сформулируем необходимый признак сходимости ряда:

  1. Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю: $$ \lim _{n \to \infty} a_n = 0 $$
  2. Если предел общего члена ряда не равен нулю, то ряд расходится: $$ \lim _{n \to \infty} a_n \neq 0 $$
Замечание

Часто проблемой почему наши заказчики не могут исследовать ряд самостоятельно является момент непонимания сути необходимого признака.

Ещё раз отметим, что если общий член ряда стремится к нулю $ a_n \to 0 $, то это ещё не значит, что ряд сходится! Нужно применить в дополнение достаточный признак. 

Данный признак применяется сам по себе только в случаях, когда нужно доказать расходимость ряда.

Обобщенный гармонический ряд

Данный ряд записывается следующим образом $ \sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{n^p} $. Причем в зависимости от $ p $ ряд сходится или расходится:

  1. Если $ p = 1 $, то ряд $ \sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{n} $ расходится и называется гармоническим, несмотря на то, что общий член $ a_n = \frac{1}{n} \to 0 $. Почему так? В замечании говорилось, что необходимый признак не даёт ответа о сходимости, а только о расходимости ряда. Поэтому, если применить достаточный признак, такой как интегральный признак Коши, то станет ясно, что ряд расходится!
  2. Если $ p \leqslant 1 $, то ряд расходится. Пример,$ \sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} $, в котором $ p = \frac{1}{2} $
  3. Если $ p > 1 $, то ряд сходится. Пример, $ \sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{\sqrt{n^3}} $, в котором $ p = \frac{3}{2} > 1 $
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание

Примеры решений

Пример 1
Доказать расходимость ряда $ \sum_{n=1} ^\infty \frac{n}{6n+1} $
Решение

Ряд положительный, записываем общий член:

$$ a_n = \frac{n}{6n+1} $$

Вычисляем предел при $ n \to \infty $:

$$ \lim _{n \to \infty} \frac{n}{6n+1} = \frac{\infty}{\infty} = $$

Выносим за скобку $ n $ в знаменателе, а затем выполняем на него сокращение:

$$ = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n(6+\frac{1}{n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{6 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{6} $$

Так как получили, что $ \lim_{n\to \infty} a_n = \frac{1}{6} \neq 0 $, то необходимый признак Коши не выполнен и ряд следовательно расходится.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
Ряд расходится
Пример 2
Исследовать ряд на сходимость $ \sum_{n=1} ^\infty \frac{n^3-2n+1}{n^2+2n+3} $
Решение

Первым делом выпишем общий член ряда и проверим выполнение необходимого признака сходимости числового положительного ряда:

$$ a_n=\frac{n^3-2n+1}{n^2+2n+3} $$

$$ \lim_{n\to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty}\frac{n^3-2n+1}{n^2+2n+3} = \frac{\infty}{\infty} = $$

Выносим старшие степени $ n $ в числителе и знаменателе, а затем сокращаем на $ n^2 $:

$$ = \lim_{n \to \infty} \frac{n^3(1-\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^3})}{n^2(1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2})}= \lim_{n \to \infty} \frac{n(1-\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^3})}{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}= \infty $$

Так как $ \lim_{n\to \infty} a_n = \infty \neq 0 $, то необходимый признак сходимости говорит о расходимости ряда.

Ответ
Ряд расходится

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ