Необходимый признак сходимости ряда
Пусть задан положительный числовой ряд $ \sum_{n=1} ^\infty a_n $. Сформулируем необходимый признак сходимости ряда:
- Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю: $$ \lim _{n \to \infty} a_n = 0 $$
- Если предел общего члена ряда не равен нулю, то ряд расходится: $$ \lim _{n \to \infty} a_n \neq 0 $$
| Замечание |
|
Часто проблемой почему наши заказчики не могут исследовать ряд самостоятельно является момент непонимания сути необходимого признака. Ещё раз отметим, что если общий член ряда стремится к нулю $ a_n \to 0 $, то это ещё не значит, что ряд сходится! Нужно применить в дополнение достаточный признак. Данный признак применяется сам по себе только в случаях, когда нужно доказать расходимость ряда. |
Обобщенный гармонический ряд
Данный ряд записывается следующим образом $ \sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{n^p} $. Причем в зависимости от $ p $ ряд сходится или расходится:
- Если $ p = 1 $, то ряд $ \sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{n} $ расходится и называется гармоническим, несмотря на то, что общий член $ a_n = \frac{1}{n} \to 0 $. Почему так? В замечании говорилось, что необходимый признак не даёт ответа о сходимости, а только о расходимости ряда. Поэтому, если применить достаточный признак, такой как интегральный признак Коши, то станет ясно, что ряд расходится!
- Если $ p \leqslant 1 $, то ряд расходится. Пример,$ \sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} $, в котором $ p = \frac{1}{2} $
- Если $ p > 1 $, то ряд сходится. Пример, $ \sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{\sqrt{n^3}} $, в котором $ p = \frac{3}{2} > 1 $
| Пример 1 |
| Доказать расходимость ряда $ \sum_{n=1} ^\infty \frac{n}{6n+1} $ |
| Решение |
|
Ряд положительный, записываем общий член: $$ a_n = \frac{n}{6n+1} $$ Вычисляем предел при $ n \to \infty $: $$ \lim _{n \to \infty} \frac{n}{6n+1} = \frac{\infty}{\infty} = $$ Выносим за скобку $ n $ в знаменателе, а затем выполняем на него сокращение: $$ = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n(6+\frac{1}{n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{6 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{6} $$ Так как получили, что $ \lim_{n\to \infty} a_n = \frac{1}{6} \neq 0 $, то необходимый признак Коши не выполнен и ряд следовательно расходится. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| Ряд расходится |
| Пример 2 |
| Исследовать ряд на сходимость $ \sum_{n=1} ^\infty \frac{n^3-2n+1}{n^2+2n+3} $ |
| Решение |
|
Первым делом выпишем общий член ряда и проверим выполнение необходимого признака сходимости числового положительного ряда: $$ a_n=\frac{n^3-2n+1}{n^2+2n+3} $$ $$ \lim_{n\to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty}\frac{n^3-2n+1}{n^2+2n+3} = \frac{\infty}{\infty} = $$ Выносим старшие степени $ n $ в числителе и знаменателе, а затем сокращаем на $ n^2 $: $$ = \lim_{n \to \infty} \frac{n^3(1-\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^3})}{n^2(1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2})}= \lim_{n \to \infty} \frac{n(1-\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^3})}{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}= \infty $$ Так как $ \lim_{n\to \infty} a_n = \infty \neq 0 $, то необходимый признак сходимости говорит о расходимости ряда. |
| Ответ |
| Ряд расходится |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ