Исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера
Пусть задан положительный ряд $ \sum _{n = 1}^\infty a_n $, где $ a_n $ - общий член ряда. Исследовать сходимость ряда через признак Даламбера целесообразно в случаях, когда в общем члене ряда присутствует:
- Число в степени $ 2^n, 3^{n+1}, 5^{2n+3} $
- Факториал $ n!, (n+1)!,(2n+1)! $
Формула
Для исследования ряда нужно воспользоватья формулой: $$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L $$ Если:
- $ 0 \leqslant L < 1 - $ ряд сходится
- $ L>1 - $ ряд расходится
- $ L=1 - $ признак Даламбера не даёт ответа о сходимости
Частный случай: при $ \small L = \infty $ ряд расходится.
Если $ \small L = 1 $, то возможно подойдет предельный признак сходимости
| Пример 1 |
| Исследовать сходимость ряда $ \sum_{n=1}^\infty \frac{6^n}{n!} $ |
| Решение |
|
Общий член ряда $ a_n = \frac{6^n}{n!} $ Следущий член ряда $ a_{n+1} = \frac{6^{n+1}}{(n+1)!} $ Подставим это в формулу и найдем отношение следущего и предыдущего члена ряда: $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{6^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{6^n}{n!}} = \frac{6^{n+1} \cdot n!}{(n+1)! \cdot 6^n} $$ Выполняем сокращение степеней и факториалов: $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{6}{n+1} $$ Теперь найдем предел получившегося соотношения: $$ L = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{6}{n+1} = 0 $$ Так как $ L = 0 < 1 $, то значит ряд сходится по признаку Даламбера. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| Ряд $ \sum_{n=1}^\infty \frac{6^n}{n!} $ сходится |
| Пример 2 |
| Исследовать ряд на сходимость через признак Даламбера $ \sum_{n = 1}^\infty \frac{(n+1)!}{(n+2)5^n} $ |
| Решение |
|
Запишем общий член ряда: $ a_n = \frac{(n+1)!}{(n+2)5^n} $ Выведем следующий член ряда с помощью подстановки $ n=n+1 $: $$ a_{n+1} = \frac{(n+2)!}{(n+3)5^{n+1}} $$ Запишем отношение предыдущего члена к следующему: $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{ \frac{(n+2)!}{(n+3)5^{n+1}}}{\frac{(n+1)!}{(n+2)5^n}} = $$ Запишем дробь в два этажа и сделаем сокращение: $$ = \frac{(n+2)!(n+2)5^n}{(n+3)5^{n+1}(n+1)!} = \frac{(n+2)(n+2)}{5(n+3)} $$ Найдем предел полученного выражения и сделаем вывод о сходимости: $$ L = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{(n+2)(n+2)}{5(n+3)} = $$ Так как получается неопределенность, то вынесем за скобки $ n $: $$ = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n^2(1+\frac{2}{n})(1+\frac{2}{n})}{5n(1+\frac{3}{n})} = $$ После сокращения числителя и знаменателя на $ n $ имеем: $$ = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n(1+\frac{2}{n})(1+\frac{2}{n})}{5(1+\frac{3}{n})} = \frac{\infty}{5} = \infty $$ Так как $ L = \infty $, то по признаку Даламбера ряд расходится. |
| Ответ |
| Ряд $ \sum_{n = 1}^\infty \frac{(n+1)!}{(n+2)5^n} $ расходится |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ