Задача Коши для дифференциального уравнения

Перед нами ДУ с разделяющимися переменными. Чтобы это понять достаточно записать производную в виде $y'=\frac{dy}{dx}$. Затем по переносим переменные по разные стороны уравнения. $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$$ $$dy = \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$$Интегрируем обе части равенства, используя таблицу интегрирования $$\int dy = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}},$$ получаем общее решение дифференциального уравнения $$y = \ln|x+\sqrt{x^2-1}| + C.$$

Зная общее решение можно перейти к задаче Коши. Необходимо найти чем равна константа $C$. Для этого воспользуемся данными, указанными в условии к заданию $y(1)=0$. В нём $x=1$ и $y=0$. Берем и подставляем эти значения в общее решение ДУ $$\ln|1+\sqrt{1^2-1}| + C = 0,$$ $$\ln1+C=0,$$ $$C=0.$$

Теперь, зная, что $C=0$ можно записать найденное решение задачи Коши в окончательном виде $$y=\ln|x+\sqrt{x^2-1}|.$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Перед нами линейное ДУ первого порядка. Решим его методом Бернулли с помощью подстановки $y=uv \Rightarrow y' = u'v+uv'$. Получаем: $$u'v+uv'+uv\cos x=e^{-\sin x}.$$ Выносим за скобки $u$ и составляем систему уравнений путем приравнивания скобок к нулю. $$u'v+u(v'+v\cos x)=e^{-\sin x}$$ $$\begin{cases} v'+v\cos x=0 \\ u'v=e^{-\sin x} \end{cases}$$

В первом уравнении необходимо разделить переменные и найти чему равно $v$, чтобы подставить во второе уравнение для нахождения $u$. $$\begin{cases} \frac{dv}{dx}+v\cos x=0 \\ u'v=e^{-\sin x} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{dv}{v}=-\cos x dx \\ u'v=e^{-\sin x} \end{cases}$$ Интегрируем первое уравнение $$\begin{cases} \int \frac{dv}{v}=-\int \cos x dx \\ u'v=e^{-\sin x} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \ln|v|=-\sin x \\ u'v=e^{-\sin x} \end{cases},$$ $$\begin{cases} v=e^{-\sin x} \\ u'v=e^{-\sin x} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} v=e^{-\sin x} \\ u' = 1 \end{cases}.$$Обратите внимание что во второе уравнение подставили полученное $v=e^{-\sin x}$ и после сокращения получилась единица. В итоге система имеет решение $$\begin{cases} v=e^{-\sin x} \\ u = x+C \end{cases}.$$

Вспоминаем про подстановку, которую проводили в самом начале решения задачи $y=uv$. Зная теперь $u$ и $v$ можно записать общее решение ДУ $$y=(x+C)e^{-\sin x}.$$ В условии задания просят найти решение дифференциального уравнения удовлетворяющее условию $y(0)=0$, поэтому вместо $x$ и $y$ подставим нули и вычислим $C$ из последнего уравнения: $$(0+C)e^{-\sin 0} = 0,$$ $$C=0.$$ Вот теперь можно записать окончательный ответ решения задачи Коши $$y = xe^{-\sin x}$$

Дано неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение которого будет иметь вид $y_\text{о.н.} = y_\text{о.о.} + y_\text{ч.н.}$. Для начала находим общее решение однородного уравнения $y_{o.o.}$, затем частное решение неоднородного уравнения $y_\text{ч.н.}$ с помощью метода подбора правой части уравнения.

На первом этапе решаем уравнение в качестве однородного без правой части, то есть меняем её на ноль. Заменяем все $y$ на новую переменную $\lambda$, показатель степени которой будет равен порядку производной. $$y''-y=0,$$ $$\lambda^2 - 1 = 0,$$ $$(\lambda-1)(\lambda+1)=0,$$ $$\lambda_1 = -1, \lambda_2 = 1.$$ Теперь можно записать общее решение однородного ДУ. $$y_\text{о.о.} = C_1e^{\lambda x}+C_2e^{-\lambda x} = C_1e^{x}+C_2e^{-x}$$

Переходим к получению $y_\text{ч.н.}$. Смотрим на правую часть уравнения, данного в условии задачи. В неё входят синус и косинус, умноженные на многочлены нулевой степени. Значит, частное решение ищем в виде $y_\text{ч.н.} = A\sin x - B\cos x$. Находим вторую производную данного выражения. $$y' = A\cos x + B\sin x,$$ $$y''=-A\sin x + B\cos x.$$ Подставляем $y$ и $y''$ в исходное уравнение из условия задачи, чтобы найти неизвестные коэффициенты $A$ и $B$. $$-A\sin x + B\cos x - A\sin x + B\cos x = 2\sin x - 4\cos x$$ После приведения подобных получаем $$-2A\sin x + 2B\cos x = 2\sin x - 4\cos x.$$ Далее составляем систему из двух уравнений благодаря коэффициентам перед синусом и косинусом левой и правой части уравнения. $$\begin{cases} -2A = 2 \\ 2B = -4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} A = -1 \\ B = -2 \end{cases}$$ Благодаря полученным коэффициентам $A$ и $B$ записываем $$y_\text{ч.н.} = -\sin x + 2\cos x$$

Итак, общее решение неоднородного дифференциального уравнения в итоге будет иметь вид $$y_\text{о.н.} = y_\text{о.о.} + y_\text{ч.н.} = C_1e^{x}+C_2e^{-x} -\sin x + 2\cos x.$$

Так как требуется найти решение задачи Коши, то ход действий на этом не закончен. Переходим к вычислению коэффициентов $C_1$ и $C_2$.

Берём первую производную $y' = C_1e^x - C_2e^{-x} - \cos x - 2\sin x$.

Теперь можно составить систему уравнений $$\begin{cases} y'(0)=0 \\ y(0) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} C_1 - C_2 - 1 = 0 \\ C_1 + C_2 + 2 = 0 \end{cases}.$$ Решаем систему уравнений. $$\begin{cases} C_1 = C_2 + 1 \\ C_2 + 1 + C_2 + 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} C_1 = C_2 + 1 \\ C_2 = -\frac{3}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} C_1 = -\frac{1}{2} \\ C_2 = -\frac{3}{2} \end{cases}.$$

Теперь подставляя полученные константы в общее решение дифференциального уравнения записываем решение задачи Коши в окончательном виде $$y = -\frac{1}{2}e^x - \frac{3}{2}e^{-x} -\sin x + 2\cos x.$$