Метод Бернулли
Данный метод предназначен для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка вида: $$ y' + P(x)y = Q(x). $$ Суть его состоит в том, чтобы сделать замену в дифференциальном уравнении на: $$ y = uv, y'=u'v+uv'. $$ После того, как замена будет выполнена ДУ сведется к системе уравнений с разделяющимися переменными, о решении которых было рассказано в статье решение ДУ с разделяющимися переменными. Советуем ознакомиться с ней. Так как умение решать уравнения данного типа необходимо для успешного решения большинства видов дифференциальных уравнений, в том числе и методом Бернулли, о котором пойдёт речь ниже.
| Пример 1 |
| Решить методом Бернулли дифференциальное уравнение: $$ y'+2xy=xe^{-x^2} $$ |
| Решение |
|
Пожалуй решение начнем с замены подстановкой $ y = uv, y'=u'v+uv' $ Получаем $$ u'v+uv'+2xuv=xe^{-x^2} $$ Далее необходимо вынести за скобку общий множитель u во втором и третьем слагаемом левой части дифференциального уравнения. Имеем $$ u'v+u(v'+2xv)=xe^{-x^2} $$ Теперь каким-то образом нужно найти неизвестные функции $ u $ и $ v $. Чтобы их найти придётся составить систему уравнений $$ \binom{v'+2xv=0}{u'v=xe^{-x^2}} $$ Заметьте, что значение первого уравнения мы взяли равным нулю, чтобы из него получить $ v $, а затем зная $ v $ из второго получить $ u $. Приступаем решать её: 1) $$ v'+2xv=0 $$ $$ \frac{dv}{dx}=-2xv $$ $$ \frac{dv}{v}=-2xdx $$ $$ ln|v|=-x^2 $$ $$ v = e^{-x^2} $$ Зная теперь чему равно v возьмём и подставим его во второе уравнение системы. Далее найдём $ u $ 2) $$ u'v=xe^{-x^2} $$ $$ \frac{du}{dx}=\frac{1}{v}xe^{-x^2} $$ $$ du=\frac{dx}{v}xe^{-x^2} $$ $$ u = \int \frac{x}{v}e^{-x^2}dx $$ $$ u=\int xdx $$ $$ u=\frac{x^2}{2}+C $$ Итак, подведем итог: Так как $ y=uv $, то ответ $$ y=(\frac{x^2}{2}+C) \cdot e^{-x^2} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ y=(\frac{x^2}{2}+C) \cdot e^{-x^2} $$ |
| Пример 2 |
| Решить дифференциальное уравнение методом Бернулли $$ y'-y=e^x $$ |
| Решение |
|
Как обычно не задумываясь ни на секунду выполняем замену $$ y=uv, y'=u'v+uv' $$ Подставляем её в исходное дифференциальное уравнение $$ u'v+uv'-uv=e^x $$ Не забываем вынести u за скобки, чтобы не нарушить алгоритм решения $$ u'v+u(v'-v)=e^x $$ Теперь необходимо найти функции u и v из полученного уравнения путём составления системы $$ \binom{v'-v=0}{u'v=e^x} $$ Запускаем вычислительную машину для решения двух уравнений 1) Найдем v из v'-v=0 $$ v'=v $$ $$ \frac{dv}{dx}=v $$ $$ \frac{dv}{v}=dx $$ $$ \int \frac{dv}{v} = \int dx $$ $$ ln|v|=x $$ $$ v=e^x $$ 2) Подставим найденное $ v $ во второе уравнение и наконец-таки найдём $ u $. $$ u'e^x=e^x $$$$ u'=1 $$ $$ u=\int dx $$ $$ u=x+С $$ Итак мы получили $ u $ и $ v $. Теперь достаточно записать ответ, что $$ y = (x+C)e^x $$ |
| Ответ |
| $$ y = (x+C)e^x $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ