Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Как найти общее решение однородного дифференциального уравнения

Данный тип задачи часто ставит студентов в тупик. Поэтому они присылают их на решение к нам. Мы написали данную статью, чтобы помочь разобраться в этой теме. Итак, прежде, чем приступать решать дифференциальное уравнение, необходимо понять к какому виду оно принадлежит. Сначала определить порядок, затем уже линейность и однородность. В данном материале рассмотрим однородные уравнения первого и второго порядка и как их решать. В зависимости от этого будет разный алгоритм действий. Так как в первом случае однородность уравнения по переменным, а во втором по правой части. Далее разберемся подробнее об этом.

Однородные ДУ первого порядка

Если после подстановки в уравнение вместо $x$ и $y$ соответствующих $\lambda x$ и $\lambda y$ можно добиться уничтожения всех $\lambda$, то уравнение является однородным первого порядка.

Такие уравнения имеют общий вид $$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,$$ где $P(x,y)$ и $Q(x,y)$ однородные функции одинакового порядка, то есть выполняются условия $P(\lambda x,\lambda y) = \lambda^n P(x,y)$ и $Q(\lambda x,\lambda y) = \lambda^n Q(x,y)$.

Алгоритм решения:

  1. Проверить уравнение на однородность с помощью $\lambda$
  2. Привести уравнение к виду $y' = f(\frac{y}{x})$
  3. Выполнить замену $\frac{y}{x} = t$ и $y' = t'x+t$
  4. Решить уравнение методом разделяющихся переменных.
Пример 1
Решить однородное дифференциальное уравнение первого порядка $$y'=e^\frac{y}{x}+\frac{y}{x}.$$
Решение

Подставляя $\lambda$ перед $x$ и $y$ в исходное уравнение получаем $$y' = e^\frac{\lambda y}{\lambda x} + \frac{\lambda y}{\lambda x},$$ в котором все $\lambda$ сокращаются, и это означает, что перед нами однородное дифференциальное уравнение первого порядка. 

Выполняем замену $\frac{y}{x} = t \Rightarrow y' = t'x + t$ в исходном уравнении и получаем: $$t'x+t=e^t+t$$ $$t'x=e^t.$$ Данное уравнение с разделяющимися переменными. Записываем его соответствующим образом и переносим всё, что содержит $t$ в левую часть, а то что с $x$ в правую: $$\frac{dt}{dx} x=e^t$$ $$\frac{dt}{e^t}=\frac{dx}{x}.$$ Интегрируем обе части уравнения: $$\int \frac{dt}{e^t}=\int \frac{dx}{x}$$ $$-e^{-t} = \ln|x|+C.$$

Теперь необходимо выполнить обратную замену $t = \frac{y}{x}$, чтобы вернуться к $y$ $$-e^{-\frac{y}{x}} = \ln|x| + C.$$ Записываем ответ в виде общего интеграла $$e^{-\frac{y}{x}}+\ln|x|=C.$$

Ответ
$$e^{-\frac{y}{x}}+\ln|x|=C$$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2
Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка $$(x^2+2xy)dx+xydy=0.$$
Решение

Подставляем перед всеми иксами и игриками дополнительную константу $\lambda$, чтобы убедиться в однородности уравнения: $$( (\lambda x)^2 + 2\lambda x \lambda y)d(\lambda x) + \lambda x \lambda y d(\lambda y) = 0$$ $$\lambda^3 (x^2+2xy)dx+\lambda^3 xydy = 0$$ $$(x^2+2xy)dx+xydy=0.$$ Как видно, все $\lambda$ уничтожились, поэтому действительно дано однородное ДУ первого порядка.

Приведем уравнение к виду $y' = f(\frac{y}{x})$. Разделим уравнение на $x^2$ и $dx$. Получим $$(1+2\frac{y}{x})+\frac{y}{x}\frac{dy}{dx} = 0.$$ Теперь выполняем замену $$\frac{y}{x}=t, \qquad \frac{dy}{dx} = t'x+t.$$ Подставляем это в уравнение и получаем $$(1+2t)+t(t'x+t) = 0, $$ и раскрываем скобки и упрощаем: $$1+2t+t'tx+t^2=0$$ $$t'tx + (t+1)^2=0.$$

Получившееся уравнение является ДУ с разделяющимися переменными. Поэтому начинаем резделять переменные $t$ и $x$ по разные стороны от знака равенства. Записываем уравнение в виде $$\frac{dt}{dx}tx = -(t+1)^2.$$ Делим обе части на $(t+1)^2$ и $x$, затем умножаем на $dx$ $$\frac{tdt}{(t+1)^2} = -\frac{dx}{x}.$$

Последнее равенство нужно проинтегрировать, чтобы вытащить $t(x)$  $$\int \frac{tdt}{(t+1)^2} = - \int \frac{dx}{x}.$$ Решаем первый интеграл методом разложения: $$\int \frac{tdt}{(t+1)^2} = \int \frac{(t+1)-1}{(t+1)^2}dt = \int \frac{t+1}{(t+1)^2}dt - \int \frac{dt}{(t+1)^2} = $$ $$ = \int \frac{dt}{t+1} - \int \frac{dt}{(t+1)^2} = $$ $$ = \ln|t+1| + \frac{1}{t+1} + C.$$ Решаем второй интеграл $$\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C.$$ Возвращаемся к равенству двух интегралов и подставляем полученные решения $$\ln|t+1| + \frac{1}{t+1} = -\ln|x|+C.$$

Вспоминаем, что в начале решения задачи была сделана подстановка $\frac{y}{x}=t$, и значит, назад нужно вернуться к $y$ $$\ln|\frac{y}{x}+1|+\frac{1}{\frac{y}{x}+1} = -\ln|x| + C.$$ Выполняем преобразования последнего уравнения: $$\ln|\frac{x+y}{x}|+\frac{x}{y+x}=-\ln|x|+C$$ $$\ln|x+y|-\ln|x|+\frac{x}{y+x}=-\ln|x|+C$$ $$\ln|x+y|+\frac{x}{x+y}=C.$$ Выразить $y$ просто так не получится. Поэтому оставим ответ в таком виде, который называется общий интеграл дифференциального уравнения.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$\ln|x+y|+\frac{x}{x+y}=C$$
Пример 3
Решить однородное дифференциальное уравнение $$xy' \sin\frac{y}{x}+x=y\sin \frac{y}{x}.$$
Решение

Как всегда начинает с проверки на однородность с помощью подстановки $\lambda$ в исходное ДУ $$\lambda xy' \sin\frac{\lambda y}{\lambda x}+\lambda x=\lambda y\sin \frac{\lambda y}{\lambda x}.$$ Видим, что все $\lambda$ сокращаются и уравнение приобретает вид из условия задачи. Значит, это однородное ДУ первого порядка.

Придадим ему вид $y'=f(\frac{y}{x})$ для удобства замены. Для этого разделим обе части уравнения на $x$ $$y' \sin\frac{y}{x}+1=\frac{y}{x} \sin \frac{y}{x}.$$ Теперь делаем подстановку $\frac{y}{x}=t$ и $y'=t'x+t$: $$(t'x+t) \sin t + 1 = t \sin t$$ $$t'x \sin t + t\sin t+1=t\sin t$$ $$t'x \sin t=-1.$$ Получили уравнение с разделяющимися переменными. Всё, что с $t$ налево, всё что с $x$ направо: $$\frac{dt}{dx} x \sin t = -1$$ $$\sin t dt = -\frac{dx}{x}.$$

Интегрируем обе части равенства: $$\int \sin t dt = -\int \frac{dx}{x}$$ $$-\cos t = -\ln|x|+C.$$ Выполняем обратную замену в последнем уравнении $$\cos \frac{y}{x} = \ln|x|+C.$$ Так как выразить $y$ достаточно тяжело, то запишем ответ в виде общего интеграла $$\cos \frac{y}{x}-\ln|x|=C.$$

Ответ
$$\cos \frac{y}{x}-\ln|x|=C$$

Однородные линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Такие уравнения имеют следующий общий вид $$y''+py'+qy=0, $$ где $p$ и $q$ постоянные коэффициенты. Чтобы решить такие уравнения первым делом нужно составить характеристический многочлен $$\lambda^2+p\lambda + q = 0, $$ который получается путем замены всех $y$ на $\lambda$ в степенях, соответствующих порядку производной $y$ $$y'' \Rightarrow \lambda^2, \quad y' \Rightarrow \lambda, \quad y \Rightarrow 1.$$ Затем в зависимости от найденных корней $\lambda_1$ и $\lambda_2$ составляется общее решение:

  1. Если $\lambda_1 \neq \lambda_2$, тогда $y=C_1e^x + C_2e^x$
  2. Если $\lambda_1 = \lambda_2$, тогда $y=C_1e^x + C_2xe^x$
  3. Если $\lambda_{1,2} = \alpha \pm \beta i$, тогда $y=C_1e^{\alpha x} \cos \beta x + C_2 e^{\alpha x} \sin \beta x$.
Пример 4
найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка $$y''-9y=0.$$
Решение

Составляем характеристический многочлен путем замены $y$ на $\lambda$ в степени, соответствующей порядку производной и находим его корни: $$\lambda^2 - 9 = 0$$ $$(\lambda - 3)(\lambda+3)=0$$ $$\lambda_1=3, \quad \lambda_2=-3.$$

Так как получили действительные корни, отличающиеся друг от друга, то общее решение однородного уравнения будет выглядеть следующим образом $$y=C_1e^{-3x}+C_2e^{3x}.$$

Ответ
$$y=C_1e^{-3x}+C_2e^{3x}$$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 5
Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка $$y''-6y'+25y=0.$$
Решение
Составим характеристическое уравнение путем замены $y$ на $\lambda$ $$\lambda^2 - 6\lambda + 25 = 0.$$ Решим квадратное уравнение. Вычислим его дискриминант $$D = b^2-4ac = (-6)^2 - 4\cdot 1 \cdot 25 = 36 - 100 = -64.$$ Теперь найдем значения корней $$\lambda_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{6\pm 8i}{2} = 3\pm 4i.$$ В итоге получили комплексно-сопряженные корни, значит, общее решение будет выглядеть $$y = C_1 e^{3x}\cos 4x + C_2 e^{3x}\sin 4x.$$
Ответ
$$y = C_1 e^{3x}\cos 4x + C_2 e^{3x}\sin 4x$$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ