Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Найти решение системы дифференциальных уравнений

Основные понятия

В данной статье рассмотрим линейные системы дифференциальные уравнений, которые делятся на два вида: однородные и неоднородные. В общем виде они записываются следующим образом $$\begin{cases} \frac{dx}{dt} = a_1 x(t) + b_1 y(t) + f_1(t) \\ \frac{dy}{dt} = a_2 x(t) + b_2 y(t) + f_2(t) \end{cases},$$где $a_1, b_1, c_1, a_2$ коэффициенты, функции $f_1(t)$ и $f_2(t)$ могут отсутствовать, либо быть константами,  $x(t),y(t)$ неизвестные функции, которые требуется найти в качестве решения системы ДУ. Напоминаем, что аналогичная запись $\frac{dx}{dt} = x'(t)$ и $\frac{dy}{dt} = y'(t)$.

 

Если хотя бы один из коэффициентов $f_1(t)$ или $f_2(t)$ не равен нулю, то система называется неоднородной. Если $f_1(t) = f_2(t) = 0$, то система однородная.

Решением системы дифференциальных уравнений называется пара функций $y(t), x(t)$, подстановка которых в систему обращает её в тождество.

Разберём два основных способа решения линейных систем дифференциальных уравнений: метод исключения и метод Эйлера.

Метод исключения

Суть метода в том, что два уравнения сводятся к одному линейному дифференциальному уравнению. Для этого есть примерный алгоритм:

  1. Находим производную одного из уравнений системы, например, $y''_t$
  2. В получившейся производной исключаем всё что связано с $x$
  3. Решаем  линейное дифференциальное уравнение относительно $y(t)$
  4. Подставляем получившийся $y(t)$ в одно из уравнений системы, чтобы найти $x(t)$ 
Пример 1
Решить систему дифференциальных уравнений методом исключения $$\begin{cases} \frac{dx}{dt} =y-7 \\ \frac{dy}{dt} = -2x - 3y \end{cases}.$$
Решение

Применим метод исключения, чтобы из двух уравнений получить одно. Берем первое уравнение и дифференцируем его по $t$. $$\frac{d^2 x}{dt^2} = \frac{dy}{dt}$$ В получившееся уравнения вместо $\frac{dy}{dt}$ подставим второе уравнение системы. $$\frac{d^2 x}{dt^2} = -2x - 3y$$ Теперь нужно избавиться от $y$, чтобы остались только $x$, и тогда можно будет решить дифференциальное уравнение относительно $x(t)$. Для этого берём первое уравнение системы и получаем из него $$y = \frac{dx}{dt}+7.$$ Продолжаем решение с учётом полученного $y$ $$\frac{d^2 x}{dt^2} = -2x - 3 (\frac{dx}{dt}+7).$$ После раскрытия скобок и преобразований получаем уравнение $$\frac{d^2 x}{dt^2} + 3\frac{dx}{dt} + 2x = 21.$$ Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решение его будем искать в виде $x_{о.н.} = x_{о.о.} + x_{ч.н.}$.

Сначала находим общее решение однородного уравнения $x_{о.о.}$. Для этого отбрасываем правую часть уравнения и составляем характеристический многочлен и находим его корни. $$\lambda^2 + 3\lambda + 2 = 0,$$ $$\lambda_{1,2} = \frac{-3\pm \sqrt{9-4\cdot 1 \cdot 2}}{2} = \frac{-3\pm 1}{2},$$ $$\lambda_1 = -1, \lambda_2 = -2.$$ Итак, записываем $$x_{о.о.} = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t}.$$

Искать частное решение $x_{ч.н.}$ будем искать методом подбора правой части исходного неоднородного линейного дифференциального уравнения. В данном случае в правой части стоит константа, значит подбор будет в виде $x_{ч.н.} = A$. Находим первую и вторую производную и подставляем в исходное решаемое уравнение. $$x'_{ч.н.} = 0, x''_{ч.н.} = 0$$ $$0 + 3 \cdot 0 + 2 A = 21 \Rightarrow A = \frac{21}{2}.$$ Значит, $x_{ч.н.} = \frac{21}{2}$.

Записываем окончательно, что $$x(t) = x_{о.н.} = x_{о.о.} + x_{ч.н.} = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} + \frac{21}{2}$$

Теперь зная $x(t)$ можно получить $y(t)$. Для этого нужно вернуться к началу решения и вспомнить, что мы выражали $y = \frac{dx}{dt}+7$. Таким образом осталось в него подставить полученное решение $x(t)$ $$y(t) = (C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} + \frac{21}{2})' + 7 = -C_1 e^{-t} - 2C_2 e^{-2t} + 7$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$\begin{cases} x(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} + \frac{21}{2} \\ y(t) = -C_1 e^{-t} - 2C_2 e^{-2t} + 7 \end{cases}$$
Пример 2
Найти решение системы дифференциальных уравнений $$\begin{cases} x' = -2y+3t \\ y' = 2x+4 \end{cases},$$ где $x(t),y(t)$ - искомые функции, $t$ - независимая переменная.
Решение

Решаем методом исключения, то есть два уравнения приводим к одному. Берем производную первого уравнения по $t$. $$x'' = (-2y+3t)'_t  = -2y'+3$$ Знаем чему равен $y'$ из второго уравнения системы и поэтому его подставляем в получившееся последнее уравнение. $$x'' = -2(2x+4)+3 = -4x - 8 + 3 = -4x - 5$$

Переписываем последнее получившееся уравнение в форме линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. $$x'' + 4x = -5$$

Общее решение этого уравнения найдем в качестве суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного $x_{о.н.} = x_{о.о.} + x_{ч.н.}$. Итак, составляем характеристический многочлен и находим его корни. $$\lambda^2 + 4 = 0$$ $$\lambda_1 = -2i, \lambda_2 = 2i.$$ Так как получились комплексные корни, то общее решение записывается следующим образом $$x_{о.о.} = C_1\cos 2t + C_2 \sin 2t.$$ Осталось найти $x_{ч.н.}$. Для этого воспользуемся методом подбора правой части. Так как она представляет собой константу, то значит $x_{ч.н.} = A$. Отсюда следует, что $x''_{ч.н.} = 0$. Подставляя эти данные в дифференциальное уравнение получаем значение $A$. $$0 + 4A = -5,$$ $$A = -\frac{5}{4}.$$

Таким образом можно записать, что $$x(t) = x_{о.о.} + x_{ч.н.} = C_1\cos 2t + C_2 \sin 2t -\frac{5}{4}.$$

Осталось найти функцию $y(t)$. Для этого выразим её из первого уравнения и подставим ранее полученный $x(t)$. $$y = \frac{3}{2}t - \frac{x'}{2},$$ $$y = \frac{3}{2}t - \frac{1}{2}(C_1\cos 2t + C_2 \sin 2t -\frac{5}{4})' = $$ $$ = \frac{3t}{2} + C_1 \sin 2t - C_2 \cos 2t.$$

Ответ
$$\begin{cases} x(t) = C_1\cos 2t + C_2 \sin 2t -\frac{5}{4} \\ y(t) = \frac{3t}{2} + C_1 \sin 2t - C_2 \cos 2t \end{cases}$$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 3
Найти общее и частное решение системы дифференциальных уравнений $$\begin{cases} \frac{dx}{dt} = 2x+y \\ \frac{dy}{dt} = x+2y \end{cases}, x(0)=1, y(0)=3$$
Решение

Берем второе уравнение и находим его производную по $t$. $$\frac{dy^2}{dt^2} = \frac{dx}{dt}+2\frac{dy}{dt}$$ В полученное равенство вместо \frac{dx}{dt} подставим первое уравнение системы. $$\frac{dy^2}{dt^2} = 2x+y + 2\frac{dy}{dt}$$ Осталось избавиться от $x$. Для этого выразим его из второго уравнения системы и подставим в последнее полученное уравнение. $$\frac{dy^2}{dt^2} = 2(\frac{dy}{dt} - 2y) + y + 2\frac{dy}{dt}$$ Раскроем скобки и перенесем всё в левую сторону. Затем запишем для удобства $\frac{dy}{dt} = y'$. $$y'' - 4y' + 3y = 0$$

Получившееся дифференциальное уравнение называется однородным линейным ду второго порядка. Для его решения составляем характеристический многочлен и находим его корни. $$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0,$$ $$\lambda_{1,2} = \frac{4\pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2} = \frac{4\pm 2}{2},$$ $$\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3.$$ Общее решение такого уравнения записывается в виде $$y = C_1 e^{3t} + C_2e^{t}.$$

Так как мы нашли $y(t)$, то теперь можем найти $x(t)$. Для этого подставляем $y(t)$ во второе уравнение системы и выражаем $x(t)$. $$x(t) = \frac{dy}{dt} - 2y = (C_1 e^{3t} + C_2e^{t})' - 2(C_1 e^{3t} + C_2e^{t})$$ После раскрытия скобок и упрощения остаётся $$x(t) = 3C_1 e^{3t} + C_2 e^t - 2C_1 e^{3t} - 2C_2 e^t = C_1 e^{3t} - C_2 e^t.$$ Вот таким образом находится общее решение системы дифференциальных уравнений $$\begin{cases} x(t) = C_1 e^{3t} - C_2 e^t \\ y(t) = C_1 e^{3t} + C_2e^{t} \end{cases}.$$

По условию задания необходимо кроме общего найти частное решение. Для этого берем дополнительные условия из задачи $x(0)=1, y(0)=3$ и подставляем в полученное общее решение, чтобы вычислить константы $C_1$ и $C_2$. $$\begin{cases} x(0) = C_1e^{0}-C_2e^0 = 1 \\ y(0) = C_1 e^0 + C_2 e^0 = 3 \end{cases},$$ $$ \begin{cases} C_1-C_2 = 1 \\ C_1 + C_2 = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} C_1 = 2 \\ C_2 = 1 \end{cases}.$$ Теперь зная постоянные можно записать частное решение системы дифференциальных уравнений $$\begin{cases} x(t) = 2e^{3t} - e^t \\ y(t) = 2e^{3t} + e^t \end{cases}.$$

Ответ
$$\begin{cases} x(t) = C_1 e^{3t} - C_2 e^t \\ y(t) = C_1 e^{3t} + C_2e^{t} \end{cases}, \begin{cases} x(t) = 2e^{3t} - e^t \\ y(t) = 2e^{3t} + e^t \end{cases}$$

Метод Эйлера

Примерный алгоритм решения по данному методу следующий:

  1. Построить матрицу $A$ из коэффициентов дифференциальных уравнений
  2. Найти собственные значения $\lambda$ и векторы матрицы $\overline{x}$
  3. Записать общее решение системы дифференциальных уравнений по формуле $$\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = C_1 e^{\lambda_1 t} \overline{x}_1 + C_2 e^{\lambda_2 t} \overline{x}_2 $$

Рассмотрим данный метод решения на конкретном примере, так как практика учит лучше, чем теория.

Пример 4
Решить систему дифференциальных уравнений методом эйлера $$\begin{cases} x' = 2x+y \\ y' = 3x+4y \end{cases}.$$
Решение

Первым делом нужно составить матрицу, элементы которой равны коэффициентам из правой части системы дифференциальных уравнений. $$A = \begin{pmatrix} 2&1 \\ 3&4 \end{pmatrix}$$

Далее нужно найти собственные значения матрицы. Для этого необходимо составить характеристический многочлен и вычислить его корни. $$|A-\lambda E| = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 3 & 4-\lambda \end{vmatrix} = 0$$

Раскрываем определитель два на два и решаем квадратное уравнение. $$(2-\lambda)(4-\lambda)-3 = 0,$$ $$8-2\lambda -4\lambda+\lambda^2 - 3 = 0,$$ $$\lambda^2 - 6\lambda + 5 = 0,$$ $$\lambda_{1,2} = \frac{6\pm \sqrt{36-4 \cdot 5}}{2} = \frac{6\pm 4}{2},$$ $$\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 5.$$ Зная собственные значения матрицы получим собственные векторы матрицы по формуле $(A-\lambda E)\overline{x} = 0$.

1) Для $\lambda_1 = 1$ имеем $$(A-\lambda_1 E)\overline{x}_1 = 0 \Rightarrow \begin{cases} x_1 + x_2 = 0 \\ 3x_1 + 3x_2 = 0 \end{cases}$$ Видим, что после сокращения второго уравнения на 3 получится, что первое уравнение равно второму. $$x_1 + x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = -x_2$$ Так как $x_2$ свободный, то положим его $x_2 = 1$. Тогда $x_1 = -1$. Отсюда следует, что первый собственный вектор равен $$\overline{x}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}.$$

2) Для $\lambda_2 = 5$ имеем $$(A-\lambda_2 E)\overline{x}_2 = 0 \Rightarrow \begin{cases} -3x_1 + x_2 = 0 \\ 3x_1 - x_2 = 0 \end{cases}$$ Замечаем, что первое уравнение одно и тоже что второе, если домножить на (-1) одно из них. $$3x_1 - x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{x_2}{3}$$ Так как $x_2$ свободный, то зададим его $x_2 = 3$. Таким образом $x_1 = 1$. Из этих значений получаем второй собственный вектор $$\overline{x}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}.$$

Находим общее решение системы дифференциальных уравнений по формуле $$\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = C_1 e^{\lambda_1 t} \overline{x}_1 + C_2 e^{\lambda_2 t} \overline{x}_2 = $$ $$ = C_1 e^t \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} + C_2 e^{5t} \begin{pmatrix} 1\\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -C_1 e^t \\ C_1e^t \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} C_2 e^{5t} \\ 3C_2 e^{5t} \end{pmatrix} = $$ $$ = \begin{pmatrix} -C_1 e^t + C_2 e^{5t} \\ C_1 e^t + 3C_2 e^{5t} \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{cases} x(t) = -C_1 e^t + C_2 e^{5t} \\ y(t) = C_1 e^t + 3C_2 e^{5t} \end{cases}$$

Ответ
$$\begin{cases} x(t) = -C_1 e^t + C_2 e^{5t} \\ y(t) = C_1 e^t + 3C_2 e^{5t} \end{cases}$$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ