Найти решение системы дифференциальных уравнений
Основные понятия
В данной статье рассмотрим линейные системы дифференциальные уравнений, которые делятся на два вида: однородные и неоднородные. В общем виде они записываются следующим образом $$\begin{cases} \frac{dx}{dt} = a_1 x(t) + b_1 y(t) + f_1(t) \\ \frac{dy}{dt} = a_2 x(t) + b_2 y(t) + f_2(t) \end{cases},$$где $a_1, b_1, c_1, a_2$ коэффициенты, функции $f_1(t)$ и $f_2(t)$ могут отсутствовать, либо быть константами, $x(t),y(t)$ неизвестные функции, которые требуется найти в качестве решения системы ДУ. Напоминаем, что аналогичная запись $\frac{dx}{dt} = x'(t)$ и $\frac{dy}{dt} = y'(t)$.
Если хотя бы один из коэффициентов $f_1(t)$ или $f_2(t)$ не равен нулю, то система называется неоднородной. Если $f_1(t) = f_2(t) = 0$, то система однородная.
Решением системы дифференциальных уравнений называется пара функций $y(t), x(t)$, подстановка которых в систему обращает её в тождество.
Разберём два основных способа решения линейных систем дифференциальных уравнений: метод исключения и метод Эйлера.
Метод исключения
Суть метода в том, что два уравнения сводятся к одному линейному дифференциальному уравнению. Для этого есть примерный алгоритм:
- Находим производную одного из уравнений системы, например, $y''_t$
- В получившейся производной исключаем всё что связано с $x$
- Решаем линейное дифференциальное уравнение относительно $y(t)$
- Подставляем получившийся $y(t)$ в одно из уравнений системы, чтобы найти $x(t)$
| Пример 1 |
| Решить систему дифференциальных уравнений методом исключения $$\begin{cases} \frac{dx}{dt} =y-7 \\ \frac{dy}{dt} = -2x - 3y \end{cases}.$$ |
| Решение |
|
Применим метод исключения, чтобы из двух уравнений получить одно. Берем первое уравнение и дифференцируем его по $t$. $$\frac{d^2 x}{dt^2} = \frac{dy}{dt}$$ В получившееся уравнения вместо $\frac{dy}{dt}$ подставим второе уравнение системы. $$\frac{d^2 x}{dt^2} = -2x - 3y$$ Теперь нужно избавиться от $y$, чтобы остались только $x$, и тогда можно будет решить дифференциальное уравнение относительно $x(t)$. Для этого берём первое уравнение системы и получаем из него $$y = \frac{dx}{dt}+7.$$ Продолжаем решение с учётом полученного $y$ $$\frac{d^2 x}{dt^2} = -2x - 3 (\frac{dx}{dt}+7).$$ После раскрытия скобок и преобразований получаем уравнение $$\frac{d^2 x}{dt^2} + 3\frac{dx}{dt} + 2x = 21.$$ Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решение его будем искать в виде $x_\text{о.н.} = x_\text{о.о.} + x_\text{ч.н.}$. Сначала находим общее решение однородного уравнения $x_\text{о.о.}$. Для этого отбрасываем правую часть уравнения и составляем характеристический многочлен и находим его корни. $$\lambda^2 + 3\lambda + 2 = 0,$$ $$\lambda_{1,2} = \frac{-3\pm \sqrt{9-4\cdot 1 \cdot 2}}{2} = \frac{-3\pm 1}{2},$$ $$\lambda_1 = -1, \lambda_2 = -2.$$ Итак, записываем $$x_\text{о.о.} = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t}.$$ Искать частное решение $x_\text{ч.н.}$ будем искать методом подбора правой части исходного неоднородного линейного дифференциального уравнения. В данном случае в правой части стоит константа, значит подбор будет в виде $x_\text{ч.н.} = A$. Находим первую и вторую производную и подставляем в исходное решаемое уравнение. $$x'_\text{ч.н.} = 0, x''_\text{ч.н.} = 0$$ $$0 + 3 \cdot 0 + 2 A = 21 \Rightarrow A = \frac{21}{2}.$$ Значит, $x_\text{ч.н.} = \frac{21}{2}$. Записываем окончательно, что $$x(t) = x_\text{о.н.} = x_\text{о.о.} + x_\text{ч.н.} = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} + \frac{21}{2}$$ Теперь зная $x(t)$ можно получить $y(t)$. Для этого нужно вернуться к началу решения и вспомнить, что мы выражали $y = \frac{dx}{dt}+7$. Таким образом осталось в него подставить полученное решение $x(t)$ $$y(t) = (C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} + \frac{21}{2})' + 7 = -C_1 e^{-t} - 2C_2 e^{-2t} + 7$$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$\begin{cases} x(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} + \frac{21}{2} \\ y(t) = -C_1 e^{-t} - 2C_2 e^{-2t} + 7 \end{cases}$$ |
| Пример 3 |
| Найти общее и частное решение системы дифференциальных уравнений $$\begin{cases} \frac{dx}{dt} = 2x+y \\ \frac{dy}{dt} = x+2y \end{cases}, x(0)=1, y(0)=3$$ |
| Решение |
|
Берем второе уравнение и находим его производную по $t$. $$\frac{dy^2}{dt^2} = \frac{dx}{dt}+2\frac{dy}{dt}$$ В полученное равенство вместо \frac{dx}{dt} подставим первое уравнение системы. $$\frac{dy^2}{dt^2} = 2x+y + 2\frac{dy}{dt}$$ Осталось избавиться от $x$. Для этого выразим его из второго уравнения системы и подставим в последнее полученное уравнение. $$\frac{dy^2}{dt^2} = 2(\frac{dy}{dt} - 2y) + y + 2\frac{dy}{dt}$$ Раскроем скобки и перенесем всё в левую сторону. Затем запишем для удобства $\frac{dy}{dt} = y'$. $$y'' - 4y' + 3y = 0$$ Получившееся дифференциальное уравнение называется однородным линейным ду второго порядка. Для его решения составляем характеристический многочлен и находим его корни. $$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0,$$ $$\lambda_{1,2} = \frac{4\pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2} = \frac{4\pm 2}{2},$$ $$\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3.$$ Общее решение такого уравнения записывается в виде $$y = C_1 e^{3t} + C_2e^{t}.$$ Так как мы нашли $y(t)$, то теперь можем найти $x(t)$. Для этого подставляем $y(t)$ во второе уравнение системы и выражаем $x(t)$. $$x(t) = \frac{dy}{dt} - 2y = (C_1 e^{3t} + C_2e^{t})' - 2(C_1 e^{3t} + C_2e^{t})$$ После раскрытия скобок и упрощения остаётся $$x(t) = 3C_1 e^{3t} + C_2 e^t - 2C_1 e^{3t} - 2C_2 e^t = C_1 e^{3t} - C_2 e^t.$$ Вот таким образом находится общее решение системы дифференциальных уравнений $$\begin{cases} x(t) = C_1 e^{3t} - C_2 e^t \\ y(t) = C_1 e^{3t} + C_2e^{t} \end{cases}.$$ По условию задания необходимо кроме общего найти частное решение. Для этого берем дополнительные условия из задачи $x(0)=1, y(0)=3$ и подставляем в полученное общее решение, чтобы вычислить константы $C_1$ и $C_2$. $$\begin{cases} x(0) = C_1e^{0}-C_2e^0 = 1 \\ y(0) = C_1 e^0 + C_2 e^0 = 3 \end{cases},$$ $$ \begin{cases} C_1-C_2 = 1 \\ C_1 + C_2 = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} C_1 = 2 \\ C_2 = 1 \end{cases}.$$ Теперь зная постоянные можно записать частное решение системы дифференциальных уравнений $$\begin{cases} x(t) = 2e^{3t} - e^t \\ y(t) = 2e^{3t} + e^t \end{cases}.$$ |
| Ответ |
| $$\begin{cases} x(t) = C_1 e^{3t} - C_2 e^t \\ y(t) = C_1 e^{3t} + C_2e^{t} \end{cases}, \begin{cases} x(t) = 2e^{3t} - e^t \\ y(t) = 2e^{3t} + e^t \end{cases}$$ |
Метод Эйлера
Примерный алгоритм решения по данному методу следующий:
- Построить матрицу $A$ из коэффициентов дифференциальных уравнений
- Найти собственные значения $\lambda$ и векторы матрицы $\overline{x}$
- Записать общее решение системы дифференциальных уравнений по формуле $$\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = C_1 e^{\lambda_1 t} \overline{x}_1 + C_2 e^{\lambda_2 t} \overline{x}_2 $$
Рассмотрим данный метод решения на конкретном примере, так как практика учит лучше, чем теория.
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ