Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

ДУ с разделяющимися переменными

Определение

Дифференциальное уравнение вида:$$ f_1(x)g_1(y)dy=f_2(x)g_2(y)dx $$называют дифференциальным уравнением 1-го порядка с разделяющимися переменными. В данном разделе математики эти уравнения самые лёгкие в решении.

Формула

Для решения существует универсальный алгоритм: 

  1. Суть его состоит в том, чтобы обе части ду разделить на произведение функций, зависящих от разных переменных: $$ f_1(x)g_2(y) $$
  2. Таким образом мы приводим исходное уравнение, заданное по условию, к виду:  $$ \frac{g_1(y)}{g_2(y)} dy = \frac{f_2(x)}{f_1(x)}dx $$
  3. Далее необходимо проинтегрировать обе части уравнения, из которых мы получим функцию y(x): $$ \int \frac{g_1(y)}{g_2(y)} dy = \int \frac{f_2(x)}{f_1(x)}dx $$

Примеры решений

Пример 1
Решить уравнение: $$ (x^2+9)y'=4xy $$
Решение

Решение как всегда начнем с анализа типа дифференциального уравнения. Данное уравнение попадает под определение ДУ первого порядка с разделяющимися переменными. А значит, начнем действовать по алгоритму решения. Распишем подробно: $$ y' = \frac{dy}{dx} $$

Далее разделим обе части уравнения на произведение двух функций: $$ y(x^2+9) $$

Получаем:$$ \frac{dy}{y} = \frac{4xdx}{x^2+9} $$

Возьмем интеграл от обеих частей последнего равенства:$$ \int \frac{dy}{y} = \int \frac{4xdx}{x^2+9} $$

Используя формулы и методы интегрирования, получаем: $$ \ln|y| = 2 \int \frac{d(x^2+9)}{x^2+9} $$

$$ \ln|y| = 2 \ln|x^2+9|+C $$

Общее решение: $$ y = C \cdot (x^2+9)^2, C = const $$

Как видим ответ легко получен и записан в последней строчке.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ y = C \cdot (x^2+9)^2, C = const $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2
Решить ДУ первого порядка с разделяющимися переменными: $$ x\sqrt{1-y^2}dx + y\sqrt{1-x^2}dy=0 $$
Решение

Перенесем  первое слагагаемое, содержащее dx в правую часть для удобства решения: 

$$ y\sqrt{1-x^2}dy = - x\sqrt{1-y^2}dx $$

Разделим обе части на выражение: $$ \sqrt{1-x^2} \cdot \sqrt{1-y^2} $$

Получаем: $$ \frac{ydy}{1-y^2} = -\frac{xdx}{1-x^2} $$

Как положено алгоритмом возьмем интегралы: $$ \int \frac{ydy}{1-y^2} = - \int \frac{xdx}{1-x^2} $$

$$ -\frac{1}{2} \int \frac{d(1-y^2)}{1-y^2} = \frac{1}{2} \int \frac{d(1-x^2)}{1-x^2} $$

$$ -\frac{1}{2} \ln|1-y^2| = \frac{1}{2} \ln|1-x^2|+C $$

$$ \ln|1-y^2| = - \ln|1-x^2|+C $$

Искомое решение: $$ 1-y^2 = \frac{C}{1-x^2} $$

Получаем ответ, в виде: $$ 1-y^2 = \frac{C}{1-x^2} $$

$$ y_{1,2} = \pm \sqrt{1-\frac{C}{1-x^2}} $$

Ответ
$$ y_{1,2} = \pm \sqrt{1-\frac{C}{1-x^2}} $$
Пример 3
Решить ДУ 1-го порядка разделяя переменные: $$ cos^2xdy=sin^2ydx $$
Решение

Решаем: $$ \frac{dy}{sin^2y}=\frac{dx}{cos^2x} $$

$$ \int \frac{dy}{sin^2y}=\int \frac{dx}{cos^2x} $$

$$ -ctgy = tgx + C $$

Ответ
$$ y = arcctg(-tgx+C) $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 4
Найти общее решение ДУ с разделяющимися переменными: $$ y'e^{x+y}=1 $$
Решение

Решать начнем с того, что воспользуемся свойством:$$ e^{x+y} = e^x \cdot e^y $$

Получаем, $$ y'e^x\cdot e^y = 1 $$

Разделяем переменные, $$ e^y dy=\frac{dx}{e^x} $$

Спокойно интегрируем уравнение, $$ \int e^y dy= \int \frac{dx}{e^x} $$

$$ e^y= \int e^{-x} = -e^{-x} + C $$

Отсюда ответ, $$ y=ln(-e^{-x}+C) $$

Ответ
$$ y=ln(-e^{-x}+C) $$
Пример 5
Решить задачу Коши: $$ x^2 y'=y^2, y(1)=1 $$
Решение

Найдем для начала общее решение ДУ: $$ \frac{dy}{y^2}=\frac{dx}{x^2} $$

$$ \int \frac{dy}{y^2}=\int \frac{dx}{x^2} $$

$$ -\frac{1}{y}= -\frac{1}{x} + C $$

Отсюда получается общее решение: $$ y = \frac{1}{\frac{1}{x}+C} $$

Решить задачу Коши это значит, найти постоянную $ С $ из дополнительного условия $ y(1)=1 $. Чтобы это проделать нужно подставить в общее решение $ x = 1 $ и $ y = 1 $.

$$ \frac{1}{1+C}=1 $$

$$ 1+C=1 $$

$$ C=0 $$

Теперь, подставляя найденное $ С = 0 $ в общее решение, записываем ответ: $$ y = x $$

Ответ
$$ y = x $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ