Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Формула
1. Алгоритм решения
Примеры решений

Формула

Дифференциальное уравнение вида:$$ f_1(x)g_1(y)dy=f_2(x)g_2(y)dx $$называют дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. В данном разделе математики эти уравнения самые лёгкие в решении.

Алгоритм решения

Суть его состоит в том, чтобы обе части ду разделить на произведение функций, зависящих от разных переменных: $$ f_1(x)g_2(y) $$
Таким образом мы приводим исходное уравнение, заданное по условию, к виду: $$ \frac{g_1(y)}{g_2(y)} dy = \frac{f_2(x)}{f_1(x)}dx $$
Далее необходимо проинтегрировать обе части уравнения, из которых мы получим функцию y(x): $$ \int \frac{g_1(y)}{g_2(y)} dy = \int \frac{f_2(x)}{f_1(x)}dx $$

Примеры решений

Пример 1
Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: $$ (x^2+9)y'=4xy $$
Решение
Решение как всегда начнем с анализа типа дифференциального уравнения. Данное уравнение попадает под определение ДУ первого порядка с разделяющимися переменными. А значит, начнем действовать по алгоритму решения. Распишем подробно: $$ y' = \frac{dy}{dx} $$ Далее разделим обе части уравнения на произведение двух функций: $$ y(x^2+9) $$ Получаем:$$ \frac{dy}{y} = \frac{4xdx}{x^2+9} $$ Возьмем интеграл от обеих частей последнего равенства:$$ \int \frac{dy}{y} = \int \frac{4xdx}{x^2+9} $$ Используя формулы и методы интегрирования, получаем: $$ \ln\|y\| = 2 \int \frac{d(x^2+9)}{x^2+9} $$ $$ \ln\|y\| = 2 \ln\|x^2+9\|+C $$ Общее решение: $$ y = C \cdot (x^2+9)^2, C = const $$ Как видим ответ легко получен и записан в последней строчке. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ y = C \cdot (x^2+9)^2, C = const $$

Решение задач от 20 руб подробное решение Контрольные работы от 200 руб подробное решение

Пример 2
Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: $$ cos^2xdy=sin^2ydx $$
Решение
Решаем: $$ \frac{dy}{sin^2y}=\frac{dx}{cos^2x} $$ $$ \int \frac{dy}{sin^2y}=\int \frac{dx}{cos^2x} $$ $$ -ctgy = tgx + C $$
Ответ
$$ y = arcctg(-tgx+C) $$

Решение задач от 20 руб подробное решение Контрольные работы от 200 руб подробное решение

Пример 3
Найти общее решение ДУ с разделяющимися переменными: $$ y'e^{x+y}=1 $$
Решение
Решать начнем с того, что воспользуемся свойством:$$ e^{x+y} = e^x \cdot e^y $$ Получаем, $$ y'e^x\cdot e^y = 1 $$ Разделяем переменные, $$ e^y dy=\frac{dx}{e^x} $$ Спокойно интегрируем уравнение, $$ \int e^y dy= \int \frac{dx}{e^x} $$ $$ e^y= \int e^{-x} = -e^{-x} + C $$ Отсюда ответ, $$ y=ln(-e^{-x}+C) $$
Ответ
$$ y=ln(-e^{-x}+C) $$

Пример 4
Решить задачу Коши для ДУ с разделяющимися переменными: $$ x^2 y'=y^2, y(1)=1 $$
Решение
Найдем для начала общее решение ДУ: $$ \frac{dy}{y^2}=\frac{dx}{x^2} $$ $$ \int \frac{dy}{y^2}=\int \frac{dx}{x^2} $$ $$ -\frac{1}{y}= -\frac{1}{x} + C $$ Отсюда получается общее решение: $$ y = \frac{1}{\frac{1}{x}+C} $$ Решить задачу Коши это значит, найти постоянную $ С $ из дополнительного условия $ y(1)=1 $. Чтобы это проделать нужно подставить в общее решение $ x = 1 $ и $ y = 1 $. $$ \frac{1}{1+C}=1 $$ $$ 1+C=1 $$ $$ C=0 $$ Теперь, подставляя найденное $ С = 0 $ в общее решение, записываем ответ: $$ y = x $$
Ответ
$$ y = x $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

Рекомендуем изучить по этой теме