Пределы с тригонометрическими функциями
Основные методы решения пределов с тригонометрией:
- Первый замечательный предел и его следствие с тангенсом $$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim\limits_{x\to 0} \frac{tg x}{x} = 1$$
- Тригонометрические преобразования и формулы
- Таблица бесконечно малых эквивалентных функций
- Правило Лопиталя
Стоит отметить, что все методы можно комбинировать в одной задаче между собой для ускорения процесса вычисления.
Решить предел с тригонометрическими функциями с помощью первого замечательного предела $\lim\limits_{x\to 0} \frac{tg 2x}{\sin3x}$
Подставляя $x=0$ в предел получаем неопределенность $(\frac{0}{0})$. Сделаем преобразования в числителе и знаменателе таким образом, чтобы появился замечательный предел.
$$ tg 2x = \frac{tg 2x}{2x} \cdot 2x $$ $$ \sin 3x = \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3x $$
Подставляем получившиеся преобразования, чтобы применить формулу первого замечательного предела.
$$ \lim\limits_{x\to 0} \frac{\frac{tg 2x}{2x} \cdot 2x}{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3x} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{1 \cdot 2x}{1 \cdot 3x} = $$
Теперь остается только сократить $x$ и записать ответ.
$$ = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3} $$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
$$\lim\limits_{x\to 0} \frac{tg 2x}{\sin3x} = \frac{2}{3}$$
Вычислить предел с помощью тригонометрического преобразования $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sqrt{4+x}-2}{1-\cos 3x}$
Обратим внимание на корень в числителе. От него нужно избавиться путём умножения и деления на сопряженное к нему число (отличающееся знаком между слагаемыми).
$$\lim\limits_{x\to 0} \frac{(\sqrt{4+x}-2)(\sqrt{4+x}+2)}{(1-\cos 3x)(\sqrt{4+x}+2)} = $$
Теперь с помощью формулы разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2 - b^2$ упростим числитель.
$$ = \lim\limits_{x\to 0} \frac{4+x-4}{(1-\cos 3x)(\sqrt{4+x}+2)} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{x}{(1-\cos 3x)(\sqrt{4+x}+2)} $$
В этой задаче не обойтись без тригонометрической формулы $1-\cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}$. Выполним по ней преобразование выражение в знаменателе.
$$1-\cos 3x = 2\sin^2 \frac{3x}{2}$$
$$ = \lim\limits_{x\to 0} \frac{x}{2\sin^2 \frac{3x}{2} (\sqrt{4+x}+2)} = $$
Видим, что в знаменателе появился синус, а это значит, что можно избавиться от него с помощью первого замечательного предела. Как в предыдущем примере одновременно умножаем и делим на аргумент синуса.
$$ \sin^2 \frac{3x}{2} = (\sin \frac{3x}{2})^2 = (\frac{\sin \frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}} \cdot \frac{3x}{2})^2 $$
Подставляем преобразование синуса, чтобы применить замечательный предел.
$$ = \lim\limits_{x\to 0} \frac{x}{2(\frac{\sin \frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}} \cdot \frac{3x}{2})^2 (\sqrt{4+x}+2)} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{x}{\frac{9x^2}{2}(\sqrt{4+x}+2)} = $$
Выносим константу перед пределом и сокращаем $x$ в числителе и знаменателе.
$$ = \frac{2}{9} \lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x(\sqrt{4+x}+2)} = \frac{2}{9} \cdot (\frac{1}{0}) = \infty $$
$$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sqrt{4+x}-2}{1-\cos 3x} = \infty$$
Найти предел с помощью логарифмирования $\lim\limits_{x\to 0} (tg x)^{\sin x} $
Подставляя $x=0$ получаем неопределенность (0^0). Под пределом показательно-степенная функция, поэтому нужно воспользоваться логарифмированием и свести к неопределенности $(\frac{\infty}{\infty})$, чтобы затем воспользоваться правилом Лопиталя.
$$\lim\limits_{x\to 0} e^{\sin x \ln(tg x)} = \lim\limits_{x\to 0} e^{\frac{\ln(tg x)}{\frac{1}{\sin x}}} = e^\frac{\infty}{\infty} = $$
Берем производные числителя и знаменателя дроби, стоящей в показателе экспоненты.
$$ \bigg(\frac{\ln(tg x)}{\frac{1}{\sin x}}\bigg)' = \frac{\frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{tg x}}{-\frac{\cos x}{\sin^2 x}} = \frac{\frac{1}{\sin x \cos x}}{-\frac{\cos x}{\sin^2 x}} = -\frac{\sin x}{\cos^2 x}$$
Подставляем полученное выражение под знак предела и применяем свойство предела для показательной функции.
$$ = \lim\limits_{x\to 0} e^{ -\frac{\sin x}{\cos^2 x}} = e^{-\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin x}{\cos^2 x} } = $$
Теперь, подставляя $x=0$ в предел, вычисляем окончательный ответ.
$$ = e^{-\frac{0}{1}} = e^0 = 1 $$
$$\lim\limits_{x\to 0} (tg x)^{\sin x} = 1$$
Взять предел путем замены на бесконечно малые эквивалентные функции $\lim\limits_{x\to 0} \frac{x\arcsin 3x}{1-\cos 2x}$
Итак, в пределе неопределенность ноль делить на ноль. Выполним замены на эквивалентные функции.
$$ \arcsin 3x \sim 3x $$ $$1-\cos 2x \sim 2x^2 $$
Подставляем в предел и получаем готовый ответ.
$$\lim\limits_{x\to 0} \frac{x\arcsin 3x}{1-\cos 2x} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{x\cdot 3x}{2x^2} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{3x^2}{2x^2} = \frac{3}{2} $$
$$\lim\limits_{x\to 0} \frac{x\arcsin 3x}{1-\cos 2x} = \frac{3}{2}$$