Как решать пределы
В этой статье вы познакомитесь с основами решения пределов функций. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее.
Итак, давайте кратко составим алгоритм решения пределов:
- Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: "ноль делить на ноль" или "бесконечность делить на бесконечность" и переходим к следующим пунктам инструкции.
- Чтобы устранить неопределенность "ноль делить на ноль" нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
- Если неопределенность "бесконечность делить на бесконечность", тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.
Вычислить пределы функций а) $ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} $; б)$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} $
а) $$ \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty $$
б)$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$
Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило.
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
$$ \text{a)} \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty \text{ б)}\lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$
Найти предел функции $$ \lim \limits_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} $$
Внимание "чайникам" :) Чтобы вычислить предел любого типа и вида нужно подставить значение x, указанное под пределом, в функцию, стоящую под знаком предела. Давайте попробуем это сделать:
$$ \lim \limits_{x \to 1} \frac{x^2+2 \cdot x+1}{x+1}=\frac{1^2+2 \cdot 1+1}{1+1} = $$
$$ = \frac{4}{2}=2 $$
Как видим в итоге у нас вычислился предел, результатом стала двойка. Хорошо, когда так получается, но бывает так, что результатом становятся неопределенности. Попробуем разобраться с ними - это не так страшно как кажется :)
$$ \lim \limits_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} = 2 $$
Что делать с неопределенностью вида: $ \bigg [\frac{0}{0} \bigg ] $
Решить предел $ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} $
Как всегда начинаем с подстановки значения $ x $ в выражение, стоящее под знаком предела.
$$ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(-1)^2-1}{-1+1}=\frac{0}{0} $$
Что теперь дальше? Что же должно получиться в итоге? Так как это неопределенность, то это ещё не ответ и продолжаем вычисление. Так как в числители у нас многочлен, то разложим его на множители, помощью знакомой всем формулы ещё со школьной скамьи $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Вспомнили? Отлично! Теперь вперед и с песней применять её :)
Получаем, что числитель $ x^2-1=(x-1)(x+1) $
Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование:
$$ \lim \limits_{x \to -1}\frac{x^2-1}{x+1} = \lim \limits_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = $$
$$ = \lim \limits_{x \to -1}(x-1)=-1-1=-2 $$
$$ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} = -2 $$
Найти предел функции $$ \lim \limits_{x \to 2}\frac{x^2-4}{x^2-4x+4} $$
$$ \lim \limits_{x \to 2}\frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = \frac{0}{0} = $$
$$ = \lim \limits_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)^2} = $$
$$ = \lim \limits_{x \to 2}\frac{x+2}{x-2} = \frac{2+2}{2-2} = \frac{4}{0} = \infty $$
Бесконечность получилась в результате - это следует из примера 1. Когда число делится на 0 под знаком предела, то получается бесконечность.
$$ \lim \limits_{x \to 2}\frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = \infty $$
Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ] $
Решить предел функции $$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} $$
$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{\infty}{\infty} $
Что же делать? Как быть? Не стоит паниковать, потому что невозможное - возможно. Нужно вынести за скобки и в числителе и в знаменателе икс, а потом его сократить. После этого предел попытаться вычислить. Пробуем...
$$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} =\lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2(1-\frac{1}{x^2})}{x(1+\frac{1}{x})} = $$
$$ = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x(1-\frac{1}{x^2})}{(1+\frac{1}{x})} = $$
Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем:
$$ = \frac{\infty(1-\frac{1}{\infty})}{(1+\frac{1}{\infty})} = \frac{\infty \cdot 1}{1+0} = \frac{\infty}{1} = \infty $$
$$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} = \infty $$
Вычислить предел функции $$ \lim \limits_{x \to \infty}\frac{x^2-4}{x^2-4x+4} $$
$$ \lim \limits_{x \to \infty}\frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = \frac{\infty}{\infty} $$
Чтобы устранить такую неопределенность нужно вынести за скобки икс в числителе и в знаменателе, далее их сократить. В полученное выражение подставить икс равное бесконечности. Пробуем...
$$ \lim \limits_{x \to \infty}\frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = \frac{\infty}{\infty} = $$
$$ \lim \limits_{x \to \infty}\frac{x^2(1-\frac{4}{x^2})}{x^2(1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2})} = $$
$$ \lim \limits_{x \to \infty}\frac{1-\frac{4}{x^2}}{1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}} = \frac{1}{1} = 1 $$
$$ \lim \limits_{x \to \infty}\frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = 1 $$