Определенный интеграл
При вычислении определенного интеграла применются основные методы и правила интегрирования присущие для неопределенного интеграла. В дополнении к этому нужно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница, $$ \int_a^b f(x) dx = F(x) \bigg |_a ^b = F(b)-F(a) $$ где функция $F(x)$ является первообразной от функции $f(x)$, стоящей под знаком интеграла.
| Пример 1 |
| Вычислить определенный интеграл $$\int_0^1 \frac{x}{x^4+1} dx$$ |
| Решение |
|
Выполняем замену $t = x^2$. Отсюда получаем $dt = 2xdx$. Не забываем о пределах интегрирования. Теперь их нужно пересчитать для переменной $t$. Сделать это можно если подставить $0$ и $1$ в замену $t = x^2$. В данной задаче они остались прежними. После подстановки в интеграл получаем $$\int_0^1 \frac{x}{x^4+1}dx = \int_0^1 \frac{1}{2} \frac{dt}{t^2+1} = $$ Посмотрев в таблицу интегрирования основных элементарных функций выполняем нахождение интеграла $$ = \frac{1}{2} arctg t \bigg |_0^1 = $$ Теперь по формуле Ньютона-Лейбница записываем ответ $$ = \frac{1}{2} arctg 1 - \frac{1}{2} arctg 0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$\int_0^1 \frac{x}{x^4+1} dx = \frac{\pi}{8}$$ |
| Пример 2 |
| Решить определенный интеграл $$ \int_0^\pi (x+5)\sin x dx $$ |
| Решение |
|
Под интегралом стоит произведение двух функций, поэтому попытаемся взять интеграл методом интегрирования по частям: $$\int udv = uv - \int vdu $$ $$ \int_0^\pi (x+5) \sin x dx = \begin{vmatrix} u = x+5 & du = dx \\ dv = \sin x dx & v = -\cos x \end{vmatrix} = $$ Подставляем в формулу интегрирования по частям найденные данные из вертикальных скобок $$ =-(x+5)\cos x \bigg |_0^\pi + \int_0^\pi \cos x dx = $$ Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла находим ответ $$= -(\pi+5) \cdot (-1) + 5 + \sin x \bigg |_0^\pi = $$ $$ = \pi + 10 + \sin \pi - \sin 0 = \pi + 10 $$ |
| Ответ |
| $$ \int_0^\pi (x+5)\sin x dx = \pi + 10 $$ |
| Пример 3 |
| Найти определенный интеграл $$\int_0^2 (x^3 + 2x + 2) dx $$ |
| Решение |
| Пользуемся методом разложения интеграла на простейшие, а затем интегрируем каждый по отдельности $$ \int_0^2 (x^3+2x+2) dx = \int_0^2 x^3dx + 2\int_0^2 xdx + 2\int_0^2 dx = $$ Для первых двух интегралов пользуемся правилом $x^p = \frac{x^{p+1}}{p+1}$, а в третьем стоит константа $$ = \frac{x^4}{4} \bigg |_0^2 + 2 \frac{x^2}{2} \bigg |_0^2 + 2x \bigg |_0^2 = \frac{x^4}{4} \bigg |_0^2 + x^2 \bigg |_0^2 + 2x \bigg |_0^2 = $$ Подставляя пределы интегрирования в каждую функции вычисляем ответ $$ = 4 + 4 + 4 = 12 $$ |
| Ответ |
| $$\int_0^2 (x^3 + 2x + 2) dx = 12 $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ