Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Как найти объем тела вращения вокруг оси Ox?

Для того, чтобы найти объем фигуры, образованной вращением вокруг оси Ox нужно вычислить определенный интеграл от квадрата функции, задающей график и умножить на число Пи. 

$$ V = \pi \int_a^b y^2 dx $$

В формуле $ a $ и $ b $ значения отложены по оси Ox. Фукция $ y (x) $ задаёт график фигуры, объем вращения которой необходимо вычислить.

  1. Строим график фигуры
  2. Вычисляем определенный интеграл
Пример 1
Вычислить объем тела вращения вокруг оси Ox: $ y = x^2 $ и $ a = 2, b = 3 $
Решение

Выполняем построение графика. Чертим на плоскости параболу $ y = x^2 $. Выставляем на чертеже оранжевые линии, соответствующие ограничениям $ a = 2, b = 3 $. Закрашиваемая область желтым цветом выделяет фигуру, объем вращения которой будем искать.

объем тела вращения вокруг оси Ox

Подставляем в формулу функцию $ y = x^2 $ и пределы интегрирования. Вычисляем определенный интеграл $$ V = \pi \int_2^3 (x^2)^2 dx = \pi \int_2^3 x^4 dx = $$

Для взятия интеграла воспользуемся формулой $ \int x^p dx = \frac{x^{p+1}}{p+1} $

$$ = \pi \frac{x^5}{5} \bigg |_2^3 = \pi \frac{243}{5} - \pi \frac{32}{5} = \frac{211}{5} \pi = 132.5 $$

Получили объем фигуры $ V = 132.5 $

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ V = 132.5 $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2
Найти объем тела вращения фигуры вокруг оси Ox, заданной двумя функциями $$ y = x^2, y = x^3 $$
Решение

В данном примере необходимо найти точки пересечения двух графиков функций. Приравниваем их друг к другу и решаем уравнение относительно одной переменной $ x $: $$ x^2 = x^3 $$ Переносим всё в одну строну $$ x^3 - x^2 = 0 $$ Выносим за скобку неизвестную $ x^2 $ и получаем корни уравнения: $$ x^2(x-1) = 0 $$ $$ x^2 = 0, x-1=0 $$ $$ x_1=0, x_2=1 $$

Выполняем построение графиков функций для наглядности. На рисунке закрашиваем область, ограниченную двумя функциями.

Для того, чтобы найти объем тела вращения, заданного с помощью двух функций, необходимо воспользоваться идеей разности объемов. А имеенно, находим сначала объем фигуры вращения, заданной функцией $ y = x^2 $, затем отдельно $ y = x^3 $.

$$ V_1 = \pi \int_0^1 x^2 dx = \pi \frac{x^3}{3} \bigg |_0^1 = \frac{\pi}{3} $$

$$ V_2 = \pi \int_0^1 x^3 dx = \pi \frac{x^4}{4} \bigg |_0^1 = \frac{\pi}{4} $$

Получаем искомый объем с помощью разности объемов $$ V = V_1 - V_2 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12} $$

Ответ
$$ V = \frac{\pi}{12} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ