Как найти неопределенный интеграл?

Заметим, что $(arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1+x}}$. Поэтому с помощью техники подведения под знак дифференциала получаем, что $$ \int arcsin x d(arcsin x) = \frac{1}{2} arcsin^2 x + C $$

Обратим внимание, что под знаком дифференциала стоит вместо $x$ обратная тригонометрическая функция $arcsin x$ и точно такая под знаком интеграла, поэтому справедливо правило интегрирования $ \int x^p = \frac{1}{p+1} x^{p+1}$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Так как под интегралом стоит произведение двух функций, то попробуем воспользоваться формулой интегрирования по частям $\int udv = uv - \int vdu$

В качестве функций $u$ и $dv$ выступают $u = \ln x$ и $dv = \sqrt{x}$. Дифференцируем $u$ и интегрируем $dv$: $$du = \frac{1}{x} dx$$ $$v = \frac{2}{3} x^\frac{3}{2}$$

Теперь подставляем в формулу интегрирования по частям все полученные данные $$\int \sqrt{x} \ln x dx = \frac{2}{3} x^\frac{3}{2} \ln x - \frac{2}{3} \int x^\frac{3}{2} \frac{1}{x} dx = $$

Упрощаем выражение $$=\frac{2}{3} x^\frac{3}{2} \ln x - \frac{2}{3} \int \sqrt{x} dx = \frac{2}{3} \sqrt{x^3} \ln x - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^\frac{3}{2} + C= \frac{2}{3} \sqrt{x^3} \ln x - \frac{4}{9} \sqrt{x^3} + C $$

Выполним замену $x+1 = t^2$. Дифференцируем обе части равенства, чтобы получить $dx$: $$(x+1)' dx = (t^2)' dt$$ $$ dx = 2t dt $$

Подставляем полученные данные в исходный интеграл и тем самым выполняем переход к новой переменной интегрирования $t$: $$ \int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx = \int \frac{t^2-1}{t} 2tdt = $$ С помощью разложения интеграла на элементарные функции получаем $$ = 2\int t^2 dt - 2\int dt = 2\frac{t^3}{3} - 2t + C = $$ Не забываем вернуться к старой переменной $x$ $$ = \frac{2}{3} (\sqrt{x+1})^3 - 2\sqrt{x+1} + C $$