Асимптоты графика функции
Часто задание на нахождение асимптот функции встречается в курсе математического анализа, в частности при решении задач на тему исследования функции. Для того, чтобы успешно находить асимптоты графика функции, необходимо уметь вычислять пределы. Если всё это вы умеете на должном уровне, тогда находить асимптоты для вас не будет проблемой. Итак, что такое асимптота? Асимптота это линия, к которой бесконечно приближается ветвь графика функции. Чтобы было наглядно, посмотрите на изображения представленные ниже.
Обратите внимание, что соприкосновения между асимптотой и графиками нет, и не должно быть. Асимптота бесконечно приближается к графику функции. Давайте рассмотрим какие виды асимптоты функции бывают.
Из таблицы узнаем, что асимптоты у функции бывают трех видов: вертикальные, горизонтальные, наклонные. Сколько бывает асимптот всего у функции? Ответ: ни одной, одна, две, три... и бесконечно много. У каждой функции по разному.
Вертикальные асимптоты
Для нахождения вертикальных асимптот необходимо найти область определения заданной функции и отметить точки разрыва. В этих точках предел функции будет равен бесконечности, а это значит, что функция в этой точке бесконечно приближается к линии асимптоты.
Горизонтальные асимптоты
Для того, чтобы найти горизонтальные асимптоты, необходимо устремить аргумент лимита функции к бесконечности. Если предел существует и равен числу, то горизонтальная асимптота будет найдена и равна $ y=y_0 $ как показано во втором столбце таблицы
Наклонные асимптоты
Наклонная асимптота представляется в виде $ y = kx+b $. Где $ k $ - это коэффициент наклона асимптоты. Сначала находится коэффициент $ k $, затем $ b $. Если какой либо из них равен $ \infty $, тогда наклонной асимптоты нет. А если $ k = 0 $, то получаем горизонтальную асимптоту. Так что для экономии времени лучше сразу находить наклонную асимптоту, а горизонтальная проявится сама собой в случае её существования.
| Пример 1 |
| Найти асимптоты графика функции $$ f(x) = \frac{5x}{3x+2} $$ |
| Решение |
|
Для начала решения найдем вертикальные асимптоты, но прежде найдем область определения функции $ f(x) $. По определению знаменатель не должен быть равен нулю. Поэтому имеем, $ 3x+2 \neq 0; 3x \neq -2; x \neq -\frac{2}{3} $. Получили точку разрыва $ x = -\frac{2}{3} $. Вычислим в ней предел функции и убедимся окончательно, что вертикальная асимптота это $ x = -\frac{2}{3} $. $$ \lim\limits_{{x \rightarrow -\frac{2}{3}}} \frac{5x}{3x+2} = (-\frac{10}{0}) = -\infty $$. Теперь найдем горизонтальные асимптоты, но прежде рассчитаем коэффициенты $ k $ и $ b $. $$ k = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} =\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{5}{3x+2}=\frac{5}{\infty}=0 $$ Так как $ k = 0 $, то мы уже понимаем то, что наклонных асимптот нет, а есть горизонтальные. Найдем теперь коэффициент $ b $. $$ b = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} [f(x)-kx] = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{5x}{3x+2} = \frac{\infty}{\infty} =\frac{5}{3} $$ Подставляем найденные коэффициенты в формулу $ y = kx + b $, получаем, что $ y = \frac{5}{3} $ - горизонтальная асимптота. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ y = \frac{5}{3} $$ |
| Пример 2 |
| Найти асимптоты функции $ f(x) = \frac{1}{1-x} $ |
| Решение |
|
Найдем область определения данного примера, чтобы определить вертикальные асимптоты. $ 1-x \neq 0; x \neq 1; $. Точка разрыва $ x = 1 $, а это значит что это и есть вертикальная асимптота. Найдем для доказательства предположения предел в этой точке. $$ \lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{1}{1-x} = \frac{1}{0} = \infty $$ Приступим к поиску наклонных асимптот. $$ k = \lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{x(1-x)} = \frac{1}{\infty}=0 $$ $$ b =\lim\limits_{x \rightarrow \infty}[f(x)-kx]=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{1-x} = \frac{1}{\infty}=0 $$ Итого, $ y=0 $ - горизонтальная асимптота. |
| Ответ |
| $$ y=0 $$ |
| Пример 3 |
| Найти асимптоты $f(x) = \frac{x^3}{3x^2+5} $ |
| Решение |
|
Замечаем, что знаменатель не обращается в ноль при любом значении икса. А это значит, что нет точек разрыва и следовательно нет вертикальных асимптот. Остается найти горизонтальные асимптоты. $$ k = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} =\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2}{3x^2+5} =\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{6x} = \frac{1}{3} $$ Так как $ k $ конечное число, не равное $ 0 $ или бесконечности, то существует наклонная асимптота. Вычислим недостающее число $ b $. $$ b =\lim\limits_{x \rightarrow \infty} [f(x)-kx] =\lim\limits_{x \rightarrow \infty} [\frac{x^3}{3x^2+5}-\frac{x}{3}] =\lim\limits_{x \rightarrow \infty} -\frac{5x}{3(3x^2+5)}= $$ $$ = -\frac{5}{3}\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{3x^2+5} =-\frac{5}{3}\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{6x} =-\frac{5}{3}\frac{1}{\infty} = 0 $$ $ y =\frac{1}{3}x $ - наклонная асимптота к функции с углом наклона одна третья. |
| Ответ |
| $$ y =\frac{1}{3}x $$ |
| Пример 4 |
| Найти асимптоты графика функции $f(x) = xe^{-x} $ |
| Решение |
|
Нет точек разрыва, а это значит, нет вертикальных асимптот. $$ k=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{e^x} = \frac{1}{\infty} = 0 $$ $$ b=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{e^x} =\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{e^x} = \frac{1}{\infty} = 0 $$ $ y = 0 $ - горизонтальная асимптота |
| Ответ |
| $$ y = 0 $$ |
Если в задачах даются элементарные функции, то заранее известно сколько и есть ли асимптоты. Например, у параболы, кубической параболы, синусоиды вообще нет никаких. У графиков функций таких как логарифмическая или экспоненциальная есть по одной. А у функций тангенса и котангенса бесчисленное множество асимптот, но арктангенс и арккатангенс имеет по две штуки.
Во всех приведенных примерах пределы вычислялись с помощью правило Лопиталя, которое очень ускоряет процесс вычисления и создает меньше ошибок.
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ