Точки перегиба графика функции
В задачах на исследование функции в одном из пунктов предлагается найти точки перегиба графика функции. Как это решить? Необходимо понимать, что такое точка перегиба по определению и её признаки.
Точка перегиба функции - это точка, в которой график функции изменяет свою выпуклость или вогнутость
Чтобы находить точки перегиба графика функции нужно следовать следующему алгоритму:
- Найти вторую производную функции $ y''(x) $
- Найти точки $ x_0 $, в которых вторая производная равна нулю, имеет разрыв, или не существует
- Исследовать каждую найденную точку $ x_0 $ на перегиб, с помощью третьей производной $ y'''(x) $
Как проверить является ли найденная точка $ x_0 $ перегибом? Необходимо найти третью производную $ y'''(x)$. Если $ y'''(x_0) $ ≠ $ 0 $, то исследуемая точка - это точка перегиба.
| Пример 1 | |
| Найти точки перегиба графика функции: $ y = 2x^4-6x^2+1 $ | |
| Решение | |
|
Найдем первую производную, заданной функции: $$ y' = (2x^4 - 6x^2 + 1)' = 8x^3 - 12x $$ Теперь получим вторую производную: $$ y'' = (y')' = (8x^3 - 12x)' = 24x^2 - 12 $$ Приравниваем к нулю $ y'' = 0 $ и решаем уравнение: $$ 24x^2 - 12 = 0 $$ $$ x^2 = \frac{1}{2} $$ $$ x_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}}, x_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} $$ Найдем третью производную и вычислим её значения в точках $ x_1 $ и $ x_2 $: $$ y'''(x) = (y''(x))' = 48x $$ $$ y'''(x_1) = y'''(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{48}{\sqrt{2}} $$ $$ y'''(x_2) = y'''(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{48}{\sqrt{2}} $$ Так как $ y'''(x_1) $ и $ y'''(x_2) $ не равны нулю, то точки $ x_1 $ и $ x_2 $ соответственно точки перегиба функции. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
|
| Ответ | |
|
$$ x_1 = - \frac{1}{\sqrt{2}}, x_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} $$ |
| Пример 2 |
| Узнать, является ли для графика функции $ y = \cos x $ точка $ x_0 = \frac{\pi}{2} $ точкой перегиба |
| Решение |
|
Найдем производные до третьего порядка фунции, указанной в условии к задаче: $$ y'(x) = (\cos x)' = - \sin x $$ $$ y''(x) = (-\sin x)' = -cos x $$ $$ y'''(x) = (-cos x)' = sin x $$ Вычислим значения $ y''(x_0) \text{ и } y'''(x_0) $: $$ y''(x_0) = y''(\frac{\pi}{2}) = - \cos \frac{\pi}{2} = 0 $$ $$ y'''(x_0) = y'''(\frac{\pi}{2}) = \sin \frac{\pi}{2} = 1 $$ Так как $ y''(\frac{\pi}{2}) = 0 $, а $ y'''(\frac{\pi}{2}) \neq 0 $, то делаем вывод, что точка $ x_0 = \frac{\pi}{2} $ является точкой перегиба для функции $ y = \cos x $ |
| Ответ |
| Точка $ x_0 = \frac{\pi}{2} $ точка перегиба |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ