Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Точки перегиба графика функции

В задачах на исследование функции в одном из пунктов предлагается найти точки перегиба графика функции. Как это решить? Необходимо понимать, что такое точка перегиба по определению и её признаки. 

Точка перегиба функции - это точка, в которой график функции изменяет свою выпуклость или вогнутость

Как найти?

  1. Найти вторую производную функции $ y''(x) $
  2. Найти точки $ x_0 $, в которых вторая производная равна нулю, имеет разрыв, или не существует
  3. Исследовать каждую найденную точку $ x_0 $ на перегиб, с помощью третьей производной $ y'''(x) $

Как проверить является ли найденная точка $ x_0 $ перегибом? Необходимо найти третью производную $ y'''(x) %$$. Если $ y'''(x_0) $ ≠ $ 0 $, то исследуемая точка - это точка перегиба.

Примеры решений 

Пример 1
Найти точки перегиба графика функции: $ y = 2x^4-6x^2+1 $
Решение

Найдем первую производную, заданной функции:

$$ y' = (2x^4 - 6x^2 + 1)' = 8x^3 - 12x $$

Теперь получим вторую производную:

$$ y'' = (y')' = (8x^3 - 12x)' = 24x^2 - 12 $$

Приравниваем к нулю $ y'' = 0 $ и решаем уравнение:

$$ 24x^2 - 12 = 0 $$

$$ x^2 = \frac{1}{12} $$

$$ x_1 = -\frac{1}{\sqrt{12}}, x_2 = \frac{1}{\sqrt{12}} $$

Найдем третью производную и вычислим её значения в точках $ x_1 $ и $ x_2 $:

$$ y'''(x) = (y''(x))' = 48x $$

$$ y'''(x_1) = y'''(-\frac{1}{\sqrt{12}}) = -\frac{48}{\sqrt{12}} $$

$$ y'''(x_2) = y'''(\frac{1}{\sqrt{12}}) = \frac{48}{\sqrt{12}} $$

Так как $ y'''(x_1) $ и $ y'''(x_2) $ не равны нулю, то точки $ x_1 $ и $ x_2 $ соответственно точки перегиба функции.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ x_1 = - \frac{1}{\sqrt{12}}, x_2 = \frac{1}{\sqrt{12}} $$

Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2
Узнать, является ли для графика функции $ y = \cos x $ точка $ x_0 = \frac{\pi}{2} $ точкой перегиба
Решение

Найдем производные до третьего порядка фунции, указанной в условии к задаче:

$$ y'(x) = (\cos x)' = - \sin x $$ $$ y''(x) = (-\sin x)' = -cos x $$ $$ y'''(x) = (-cos x)' = sin x $$

Вычислим значения $ y''(x_0) \text{ и } y'''(x_0) $:

$$ y''(x_0) = y''(\frac{\pi}{2}) = - \cos \frac{\pi}{2} = 0 $$

$$ y'''(x_0) = y'''(\frac{\pi}{2}) = \sin \frac{\pi}{2} = 1 $$

Так как $ y''(\frac{\pi}{2}) = 0 $, а $ y'''(\frac{\pi}{2}) \neq 0 $, то делаем вывод, что точка $ x_0 = \frac{\pi}{2} $ является точкой перегиба для функции $ y = \cos x $

Ответ
Точка $ x_0 = \frac{\pi}{2} $ точка перегиба

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ